Equazione in due variabili con parametro e due valori assoluti

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Il mio professore ha proposto un'equazione parametrica fratta in due variabili e con valore assoluto che io non sono in grado di risolvere. In realtà mi viene chiesto di determinare i valori del parametro in modo che l'equazione ammetta soluzioni. Ho chiesto suggerimenti all'insegnante e lui mi ha detto di calcolare l'immagine di un'opportuna funzione di due variabili.

 

Determinare i valori del parametro reale b per i quali la seguente equazione ammette soluzioni

 

(1)/(|x|+|y-1|+1) = 1-2b

 

Suggerimento: si calcoli l'immagine di

 

f(x,y) = (1)/(|x|+|y-1|+1)

 

Grazie.

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Il problema proposto si risolve abbastanza agevolmente se si usa la definizione di immagine di una funzione di due variabili.

    Sia f(x,y) una funzione definita su un insieme Dom(f) e a valori in R. Si chiama immagine di f il sottoinsieme di R costituito dai valori che la funzione assume.

    Im(f) = z∈R | ∃ (x,y)∈Dom(f) per cui z = f(x,y)

    z appartiene all'immagine di f(x,y) se e solo se esiste almeno una coppia (x,y) del dominio che soddisfa l'equazione

    z = f(x,y)

    In base a questa definizione, calcolare i valori del parametro b per cui l'equazione in due variabili

    (1)/(|x|+|y-1|+1) = 1-2b

    ammette soluzioni equivale a determinare i valori di b in modo che 1-2b appartenga all'immagine della funzione

    f(x,y) = (1)/(|x|+|y-1|+1)

    ossia

    (1)/(|x|+|y-1|+1) = 1-2b

    ammette soluzioni se e solo se 1-2b∈Im(f).

    Immagine della funzione

    Per determinare l'immagine in teoria potremmo avviare uno breve studio per calcolare gli eventuali massimi e/o minimi assoluti della funzione in due variabili, ma la presenza dei valori assoluti scoraggia questa strategia.

    Una buona alternativa prevede di sfruttare la non negatività del valore assoluto per scrivere la disuguaglianza

    |x|+|y-1|+1 ≥ 1 ∀ (x,y)∈R^2

    da cui, passando ai reciproci e invertendo il verso, segue che:

    0 < (1)/(|x|+|y-1|+1) ≤ 1 ∀ (x,y)∈R^2

    Purtroppo non abbiamo ancora sufficienti informazioni per calcolare l'immagine: l'unica cosa che abbiamo scoperto è che f(x,y) è una funzione limitata e la sua immagine è contenuta o al più coincide con (0,1].

    D'altro canto f(x,y) assume il valore 1 nel punto (x,y) = (0,1); inoltre se fissiamo y e facciamo tendere x a +∞, f(x,y) tende a 0.

    Data la continuità di f(x,y) e in accordo con il teorema dei valori intermedi, possiamo affermare che l'immagine della funzione coincide con (0,1].

    Im(f) = (0,1]

    Abbiamo praticamente finito! Nota l'immagine della funzione, possiamo impostare la condizione

    1-2b∈ (0,1]

    che si traduce nella doppia disequazione

    0 < 1-2b ≤ 1 ;-1 < -2b ≤ 0 ; 0 ≤ 2b < 1 ; 0 ≤ b < (1)/(2)

    pertanto l'equazione

    (1)/(|x|+|y-1|+1) = 1-2b

    ammette soluzioni se e solo se 0 ≤ b < (1)/(2).

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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