Quadrato della norma di Froenbius

Ciao Temitope, arrivo a risponderti...

Essendo il quadrato della norma di Frobenius una norma, direi necessariamente di sì: hai provato a dimostrare che soddisfa la disuguaglianza triangolare con la definizione mediante i valori singolari?

In alternativa, sapresti dimostrare che la norma di Frobenius (non al quadrato) è una norma? Se sì, sei a cavallo...e ti dico il perché 

Namasté!

La norma in questione sarebbe

||A||=tr(A*A^t)

bisogna verificare che ||A+B||<=||A||+||B||

A+B=C

biosgna verificare (caso reale) che

tr(CC^t)<=tr(AA^t)+tr(BB^t)

tr((A+B)*(A+B)^t)<=tr(AA^t)+tr(BB^t)

tr(AA^t)+tr(BB^t)+tr(AB^t)+tr(BA^t)<=tr(AA^t)+tr(BB^t)

tr(AB^t)+tr(BA^t)<=0 ????

Ho fatto solo algebra lineare e Geometria I finora, (sono al primo anno), quindi non so cosa siano i valori singolari.

Ok, però sai che 

è una norma, o no?

Sì, certo.

Ok! :) Allora ti basta osservare che, indicando con la norma di Frobenius, comunque prese due matrici consideriamo la funzione norma di Frobenius , e consideriamo la funzione

che è convessa e crescente. Dato che è una norma

dato che è una funzione crescente

e dato che è convessa

Ecco fatto 

Namasté!

Ma l'ultima relazione dovrebbe significare, per esempio che

(x+y)^2<=x^2+y^2

2xy<=0?

senza ipotesi su x e y non vedo l'implicazione...

Quella relazione sussiste per convessità della funzione  

Namasté!

(1+4)^2<=1^2 + 4^2  ???

Mi sa che non sto capendo bene ....

....tra l'altro "dai disegni", non dovrebbero essere le funzioni concave ad essere sublineari?

Grazie per la pazienza

Il fatto è che ho scritto una fesseria bella e buona , perché il quadrato è sì una funzione convessa, ma non è quella la relazione di convessità...il tempo di modificare la risposta precedente 

Al momento non mi viene in mente niente  ti scriverò un pms appena avrò modificato.

Namasté!

Prova con queste due matrici

A

|1 0|

|0 0|

B

|1 1|

|0 0|

trAAt =1

trBBt =2

tr(A+B)(A+B)t=5

In ogni caso biosgna correggere wikipedia.it