Soluzioni
  • Ciao Temitope, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Essendo il quadrato della norma di Frobenius una norma, direi necessariamente di sì: hai provato a dimostrare che soddisfa la disuguaglianza triangolare con la definizione mediante i valori singolari?

    In alternativa, sapresti dimostrare che la norma di Frobenius (non al quadrato) è una norma? Se sì, sei a cavallo...e ti dico il perché Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • La norma in questione sarebbe

    ||A||=tr(A*At)

    bisogna verificare che ||A+B||<=||A||+||B||

    A+B=C

    biosgna verificare (caso reale) che

    tr(CCt)<=tr(AAt)+tr(BBt)

    tr((A+B)*(A+B)t)<=tr(AAt)+tr(BBt)

    tr(AAt)+tr(BBt)+tr(ABt)+tr(BAt)<=tr(AAt)+tr(BBt)

    tr(ABt)+tr(BAt)<=0 ????

    Risposta di temitope
  • Ho fatto solo algebra lineare e Geometria I finora, (sono al primo anno), quindi non so cosa siano i valori singolari.

    Risposta di temitope
  • Ok, però sai che 

    ||A||=\sqrt{tr(AA^t)}

    è una norma, o no?

    Risposta di Omega
  • Sì, certo.

    Risposta di temitope
  • Ok! :) Allora ti basta osservare che, indicando con ||\cdot || la norma di Frobenius, comunque prese due matrici A,B consideriamo la funzione norma di Frobenius g(\cdot)=||\cdot||\mbox{ }g:Mat(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}, e consideriamo la funzione

    f(x)=x^2

    che è convessa e crescente. Dato che g è una norma

    g(A+B)\leq g(A)+g(B)

    dato che f è una funzione crescente

    ||A+B||^2=f(g(A+B))\leq f(g(A)+g(B))\leq

    e dato che è convessa

    \leq f(g(A))+f(g(B))=||A||^2+||B||^2

    Ecco fatto Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ma l'ultima relazione dovrebbe significare, per esempio che

     

    (x+y)^2<=x^2+y^2

    2xy<=0?

    senza ipotesi su x e y non vedo l'implicazione...

     

    Risposta di temitope
  • Quella relazione sussiste per convessità della funzione f(x)=x^2 Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • (1+4)^2<=1^2 + 4^2  ???

     

    Mi sa che non sto capendo bene ....

    ....tra l'altro "dai disegni", non dovrebbero essere le funzioni concave ad essere sublineari?

     

    Grazie per la pazienza

     

     

    Risposta di temitope
  • Il fatto è che ho scritto una fesseria bella e buona Laughing, perché il quadrato è sì una funzione convessa, ma non è quella la relazione di convessità...il tempo di modificare la risposta precedente Wink

    Risposta di Omega
  • Al momento non mi viene in mente niente Sealed ti scriverò un pms appena avrò modificato.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Prova con queste due matrici

    A

    |1 0|

    |0 0|

    B

    |1 1|

    |0 0|

    trAAt =1

    trBBt =2

    tr(A+B)(A+B)t=5

     

    In ogni caso biosgna correggere wikipedia.it

     

     

    Risposta di temitope
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