Punti in cui una funzione a due variabili non è derivabile

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Devo determinare l'insieme dei punti in cui la seguente funzione a due variabili non è derivabile:

 

f(x,y)=y|x|sen(x)+x|y|cos(y).

Negli appunti il professore non ha mai menzionato niente di simile. Io so che per le funzioni in una variabile un punto è di non derivabilità se appartiene al dominio della funzione ma non a quello della derivata.

Però qui non so come applicarlo!

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao lely91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la funzione 

    f(x, y) = y |x| sin(x)+x|y|cos(y)

    Essa è continua in tutto il piano. Per quanto riguarda la derivabilità abbiamo problemi quando i moduli sono zero. In tal caso i possibili punti di discontinuità sono del tipo:

    (x_0, 0) x_0∈ R

    i quali annullano il secondo modulo (|y| insomma)

    e 

    (0, y_0) x_0∈ R

    questi annullano il primo modulo.

    Per i punti di non derivabilità, vale un discorso analogo a quello della lezione del link, che si riferisce alle funzioni di una sola variabile (tali sono le restrizioni lungo gli assi). Per studiare la derivabilità andremo a calcolare la derivata parziale del primo ordine tramite la definizione:

    lim_(h → 0)(f(0+h, y_0)-f(0, y_0))/(h) =

    Ora

    f(h, y_0) = y_0|h|sin(h)+h|y_0|cos(y_0)

    mentre

    f(0, y_0) = 0

    Quindi dobbiamo calcolare il limite:

    lim_(h → 0)(y_0|h|sin(h)+h|y_0|cos(y_0))/(h) =

    Ora la presenza del valore assoluto ci avverte di studiare il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale:

    lim_(h → 0^+)(y_0hsin(h)+h|y_0|cos(y_0))/(h) = |y_0|cos(y_0)

    Mentre:

    lim_(h → 0^-)(y_0(-h)sin(h)+h|y_0|cos(y_0))/(h) = |y_0|cos(y_0)

     

    I due limiti concidono infatti

    |y_0|cos(y_0) = |y_0|cos(y_0)

     

    Per la derivata parziale rispetto ad y:

    lim_(k → 0)(f(0, y_0+k)-f(0, y_0))/(k) = 0

    indipendentemente da k.

    Quindi la funzione è derivabile nei punti (0, y0) con y0 reale.

    A questo punto dovresti indagare per l'altra famiglia di punti. I passaggi sono gli stessi. Spero di non aver commesso errori di conto

    Risposta di Ifrit

  • non c'è un metodo più veloce? perchè questo è l'esercizio di un compito di esame e solitamente il professore non da esercizi da risolvere con così tanti passaggi.

    Risposta di Lely91

  • Al momento non mi vengono strade migliori, mi dai qualche momento che controllo la correttezza dei conti? Grazie :)

    Risposta di Ifrit

  • ok grazie

    Risposta di Lely91

  • OK, ho corretto, avevo scritto male un termine e mi ha sballato tutto. Comunque il procedimento non è difficile, è sufficiente utilizzare al definizione di derivata parziale. Non so se esiste un metodo veloce sinceramente :(

    Risposta di Ifrit

  • per l'altra devo fare il lim k->0 di f(x0,0+k)-f(x0,0)/k. è giusto?

    Risposta di Lely91

  • Certamente :)

    Ti assicuro che non è difficile, devi solo stare attenta ai conti (da che pulpito xD )

    Risposta di Ifrit

  • ok io ho ottenuto per il limite che tende a 0+ |x0|senx0+x0 e per quello che tende a 0- |x0|senx0-x0.

    quindi i limiti destro e sinistro sono diversi. come determino i punti di non derivabilità da questo punto in poi?

    Risposta di Lely91

  • Secondi i miei conti il limite destro risulta essere:

    lim_(k → 0^+)(f(x_0, k)-f(0, 0))/(k) = x_0+|x_0|sin(x_0)

    mentre:

    lim_(k → 0^-)(f(x_0, k)-f(0, 0))/(k) = -x_0+|x_0|sin(x_0)

    I due limiti coincidono se e solo se:

    x_0+|x_0|sin(x_0) = -x_0+|x_0|sin(x_0)

    Da cui otteniamo che:

    x_0 = -x_0 ⇔ x_0+x_0 = 0 ⇔ 2x_0 = 0 ⇔ x_0 = 0

    Quindi è derivabile quando x0=0.

     

    Devi controllare però anche l'altro di limite. Questa è la derivata parziale rispetto ad y ed esiste finito se e solo se appunto x0=0

    Adesso devi controllare per gli stessi punti la derivata parziale rispetto ad x

    Risposta di Ifrit

  • ok quindi faccio il lim per h->0 f(x0+h)-f(x0,0)/h=0.

    quindi la conclusione qual'è?

    Risposta di Lely91

  • cioè posso concludere che la mia funzione non è derivabile rispetto alla y nei punti (x0,0) per x0 diverso da 0. mentre per tutto il resto non ci sono problemi.

    è giusto così?

    Risposta di Lely91

  • Grazie al precedente limite abbiamo scoperto che x0=0 altrimenti non esiste la derivata parziale rispetto ad y.

    Quindi devi controllare:

    lim_(h → 0)(f(0+h,0)-f(0, 0))/(h) = 0

    Quindi la funzione è derivabile in tutti i punti del tipo

    (0, y_0) y_0∈ R

    E questo conclude l'esercizio

    Risposta di Ifrit

  • La tua risposta è più precisa!! :)

    Risposta di Ifrit

  • alla fine dell'es come risposta ho: quindi l'insieme dei punti (x,y) in cui la funzione non è derivabile è __________ e devo completare la risposta!

    Risposta di Lely91

  • Come ho detto nel mio messaggio precedente, hai risposto da sola alla domanda :P

    Risposta di Ifrit

  • si l ho visto dopo. grazie mille per la pazienza è stato un parto questo esercizio!

    Risposta di Lely91
 
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