Immagine di una funzione a due variabili con modulo

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Ho un esercizio che chiede di trovare l'immagine di una funzione in due variabili e ho abbozzato una risoluzione, ma non mi ha portato da nessuna parte.

La funzione è:

 

f(x,y) = |x^3-y| e^(-|x^3-y|)

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao lely91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Un modo di procedere è il seguente, poni:

    t = |x^3-y|

    che ha per immagine [0, +infinito) quindi la variabile appena definita varia tra 0 e + infinito.

    La funzione si riscrive come:

    f(t) = t e^(-t) t∈ [0,+infty)

    Osserva che

    f(0) = 0

    mentre quando t diventa molto grande la funzione f(t) tende a zero. Inoltre la derivata rispetto a t è:

    f'(t) = e^(-t)-t e^(-t) = e^(-t)(1-t)

    che si annulla per t=1

    Studiando il segno della derivata prima scopri che t=1 è un punto di massimo assoluto, quindi la funzione è limitata sia superiormente che inferiormente il massimo assoluto vale:

    f(1) = e^(-1)

    Quindi la funzione di partenza ha per immagine:

    Im(f) = [0, e^(-1)]

    Risposta di Ifrit
 
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