Gradiente di una funzione integrale

Come si fa a calcolare il gradiente di una funzione integrale dipendente da due variabili? Mi spieghereste la risoluzione del seguente esercizio ragazzi?

Devo determinare il gradiente nel punto (-1,1) della funzione integrale

f(x, y) = ∫_1^(xy)(t^2)/(3+t^2)dt

Come faccio? Grazie in anticipo!

Domanda di Lely91
Soluzioni

Ciao Lely91 arrivo :S

Risposta di Ifrit

Abbiamo la funzione:

f(x, y) = ∫_1^(xy)(t^2)/(3+t^2)dt

Qui puoi procedere con la definizione, quindi il limite del rapporto incrementale, oppure calcoli effettivamente le derivate parziali rispetto ad x e a y, utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale:

Posto 

h(t) = (t^2)/(3+t^2)

allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo:

f_x(x, y) = h(x y)·D_x[x y] = (x^2 y^2)/(3+x^2 y^2)·y =

= (x^2 y^3)/(3+x^2 y^2)

Che valutata in (-1, 1) dà:

f_x(−1, 1) = (1)/(4)

Mentre:

f_(y)(x, y) = h(x y)·D_y[x y] = (x^2 y^2)/(3+x^2 y^2)·x =

= (x^3 y^2)/(3+x^2 y^2)

Da cui:

f_y(−1, 1) = −(1)/(4)

Possiamo concludere che:

∇ f(−1,1) = ((1)/(4),−(1)/(4))

Questo penso sia il metodo più veloce

Risposta di Ifrit

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