Soluzioni
  • Ciao ale92 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Trovo questo quesito abbastanza inusiale, io procederei in questo modo:

    Sia P(x0, y0) appartenente alla retta di equazione 

    y=-x

    Le coordinate saranno:

    (x_0, -x_0)

    Abbiamo la funzione:

     

    f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin(x^2-y^2)}{x+y}&\mbox{ se } x\ne -y\\ y-x&\mbox{ se }x= -y \end{cases}

     

    Dobbiamo quindi risolvere il limite:

    \lim_{(x, y)\to (x_0, -x_0)}f(x, y)

    Ora affinché la funzione sia continua in P dobbiamo avere l'uguaglianza con -2x0 

    Osserviamo che:

    \sin(x^2-y^2)\sim x^2-y^2 = (x+y)(x-y)

    quando x è sufficientemente vicino ad y.

    quindi il limite si esprime come:

    \lim_{(x, y)\to (x_0, -x_0)}\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)}= \lim_{(x, y)\to (x_0, -x_0)}x-y= 2x_0

    Ora

    -2x_0=2x_0\iff x_0=0

    Quindi è continua nel punto

    (x_0, -x_0)= (0,0)

    Se x0 è diverso da zero abbiamo una discontinuità a salto, io lo farei così. Cosa ne pensi? 

    Risposta di Ifrit
  • ok qualche idea me l'hai data cercherò da solo e vedo la situazione...

    per  il dubbio che ho per il secondo punto ho ragionato bene invece?

    "faccio il limite delle derivate parzilali della prima funzione (quella x diverso da -y) o della seconda (quella con x = -y), secondo me della seconda dato che (0,0) rientra nel y= -x, che ne dici?"

    Risposta di ale92_
  • Per la seconda io procederei così:

    f_x(0, 0):= \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h, 0)-f(0, 0)}{h}

    ora:

    f(0, 0)= 0

    ricadiamo infatti sulla seconda condizione che definisce la funzione.

    Poiché 0+h è diverso da 0 allora:

    f(0+h, 0)= f(h, 0)= \frac{\sin(h^2)}{h}

    Quindi:

    f_x(0, 0):= \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h^2)}{h^2}= 1

    procedendo allo stesso modo per y:

    f_y(0, 0):= \lim_{k\to 0}\frac{f(0, k)-f(0, 0)}{k}

    Ora:

    f(0, k)= \frac{\sin(-k^2)}{k}= \frac{-\sin(k^2)}{k}

    ho sfruttato la disparità della funzione seno.

    f_y(0, 0):= \lim_{k\to 0}\frac{-\sin(k^2)}{k^2}= -1

    Abbiamo quindi che:

    f_x(0, 0)=1

    f_y(0, 0)=-1

    Ti torna?

    Risposta di Ifrit
 
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