Soluzioni
  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • ok grazie!!

     

    Risposta di Nicoló
  • Se ho interpretato bene il testo, la serie è questa qui

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\arctan^4{(n)}}{n^{a-5}\log^{3}{(1+n^4)}}}

    facciamo riferimento al criterio del confronto asintotico e stimiamo il termine generale della serie, al tendere di n\to +\infty, con

    \frac{\arctan^4{(n)}}{n^{a-5}\log^{3}{(1+n^4)}}\sim_{n\to +\infty}\frac{\frac{\pi^4}{2^4}}{n^{a-5}\log^{3}{(1+n^4)}}

    La costante a numeratore possiamo lasciarla perdere, limitiamoci a considerare

    \frac{1}{n^{a-5}\log^{3}{(1+n^4)}}

    Al tendere di n\to +\infty possiamo equivalentemente considerare

    \frac{1}{n^{a-5}\log^{3}{(n^4)}}

    \frac{1}{4^3n^{a-5}\log^{3}{(n)}}

    ancora per stima asintotica

    \frac{1}{n^{a-5}\log^{3}{(n)}}

    Ora si conclude l'esercizio per confronto con le serie che estendono la serie armonica generalizzata:

    https://www.youmath.it/forum/analisi-1/3788-procedimento-ricerca-convergenza-serie-numerica.html

    - se a-5>1\to a>6, la serie converge;

    - la serie converge anche se a-5=1 .

    Morale: la serie converge se a\geq 6.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • e n alla 4 non l arco tangente!!

     

    Risposta di Nicoló
  • Allora si scrive arctan(n^4) non arctan(n)^4 Laughing

    Non importa comunque: sostituisci nello svolgimento \pi^4/2^4 con \pi/2, il resto non cambia Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie!!

    Risposta di Nicoló
 
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