L'insieme vuoto è aperto o chiuso?

L'insieme vuoto è un insieme sia aperto sia chiuso, e per vederlo basta osservare che soddisfa entrambe le definizioni:

1) un insieme è chiuso se contiene tutti i propri punti di accumulazione. L'insieme vuoto non ha punti di accumulazione, dunque contiene tutti i propri punti di accumulazione.

2) un insieme è aperto se è intorno di ogni suo punto, cioè se per ogni suo elemento esiste un intorno dell'elemento stesso interamente contenuto nell'insieme. L'insieme vuoto non ha punti, dunque è intorno di ogni suo punto.

Con analogo ragionamento si può concludere che se un insieme non ha punti di accumulazione è necessariamente chiuso. Ad esempio, i singleton, vale a dire gli insiemi costituiti da un solo punto, sono chiusi.

Namasté!