Soluzioni
  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • grazie

     

    Risposta di Nicoló
  • L'equazione proposta (in realtà è un problema di Cauchy, perché abbiamo una condizione al bordo)

    y'=\frac{x^2y}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}

    y(0)=e^{25}

    è un'equazione differenziale a variabili separabili, che riscriviamo nella forma

    \frac{y'}{y}=\frac{x^2}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}

    e, passando ai differenziali

    \frac{dy}{dx}\frac{1}{y}=\frac{x^2}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}

    \frac{dy}{y}=\frac{x^2}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}dx

    possiamo integrare entrambi i membri

    \int{\frac{dy}{y}}=\int{\frac{x^2}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}dx}

    Il primo integrale è semplice da calcolare: la primitiva è un logaritmo

    \int{\frac{dy}{y}}=\log{(y(x))}

    Per quanto riguarda il secondo integrale

    \int{\frac{x^2}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}dx}

    lo riscriviamo nella forma

    \int{\frac{1}{\frac{1}{25}}\frac{x^2}{25+x^2}dx}

    25\int{\frac{x^2}{25+x^2}dx}

    sommiamo e sottraiamo un 25 a numeratore, e spezziamo l'integrale

    25\int{\frac{x^2+25}{25+x^2}dx}-25\int{\frac{25}{25+x^2}dx}

    25\int{dx}-25\int{\frac{25}{25+x^2}dx}

    dunque riscriviamo il secondo integrale nella forma

    25\int{dx}-25\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}dx}

    poi aggiustiamo le costanti nell'integranda

    25\int{dx}-125\int{\frac{1}{5}\frac{1}{1+\left(\frac{x}{5}\right)^2}dx}

    e integriamo

    25x-125\arctan{\left(\frac{x}{5}\right)}+C

    Ricomponiamo il tutto: abbiamo

    \log{(y(x))}=25x-125\arctan{\left(\frac{x}{5}\right)}+C

    cioè

    y(x)=e^{25x-125\arctan{\left(\frac{x}{5}\right)}+C}

    Imponiamo la condizione iniziale y(0)=e^{25}

    y(0)=e^{C}=e^{25}

    e abbiamo finito: la soluzione del problema di Cauchy considerato è

    y(x)=e^{25x-125\arctan{\left(\frac{x}{5}\right)}+25}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille!!

    Risposta di Nicoló
  • grazie mille!!

    Risposta di Nicoló
  • ma 125 non va diviso per 5 se c e 1/5 dentro l integrale??

    Risposta di Nicoló
  • No, perché quell'1/5 lo si è fatto saltar fuori apposta per poter integrare, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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