Soluzioni
  • Ok: si procede come descritto in questa guida: studio di funzioni, e si comincia dal dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{x^2+1}

    Non dobbiamo imporre alcuna condizione, perché l'argomento della radice è una quantità positiva su tutto l'asse reale, quindi

    \mbox{dom}(f)=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).

    Per quanto riguarda il segno e le intersezioni con gli assi, la disequazione

    f(x)\geq 0

    ha soluzioni \forall x\in\mathbb{R}, perché f(x) è una funzione positiva su tutto l'asse reale, che non presenta intersezioni con l'asse delle ascisse.

    C'è una intersezione con l'asse delle ordinate, che si determina calcolando il valore che la funzione assume in x=0:

    f(0)=1

    quindi (0,1) è l'unica intersezione con l'asse delle y.

    Osserviamo che il dominio è simmetrico rispetto all'origine, ha senso quindi controllare se f(x) è una funzione pari o dispari.

    La funzione considerata è pari, infatti

    f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}=\sqrt{x^2+1}=f(x)

    pertanto il grafico di f(x) presenta una simmetria assiale con asse di simmetria quello delle ordinate.

    Passiamo ai limiti agli estremi del dominio: calcoliamo

    \lim_{x\to \pm\infty}{f(x)}=\lim_{x\to \pm\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty

    La funzione non presenta certamente un asintoto orizzontale né destro né sinistro, ma può avere un asintoto obliquo destro o sinistro.

    Per scoprirlo consideriamo l'equazione y=mx+q e impostiamo il limite che definisce il coefficiente angolare:

    m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=

    Tale limite deve esistere finito e diverso da zero.

    \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\left[\frac{+\infty}{-\infty}\right]=

    Affrontiamo questa forma indeterminata trascurando il termine 1 all'interno del radicando: ciò è lecito perché x^2\to +\infty quando x\to -\infty

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=

    Osserviamo che \sqrt{x^2} coincide con il valore assoluto di x, e per x\to -\infty si ha che \sqrt{x^2}=|x|=-x. Il limite diventa:

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{-x}{x}=-1

    Il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo sinistro esiste finito e diverso da zero. Ottimo, abbiamo il valore che ci serve per definire l'ordinata all'origine:

    \\ q=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-mx)= \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)=[\infty-\infty]=

    Il limite si presenta nella forma indeterminata [\infty-\infty] e possiamo affrontarla mediante una razionalizzazione: moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt{x^2+1}-1.

    \\ =\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)\cdot\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}-x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}-x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0

    L'equazione dell'asintoto obliquo sinistro è di conseguenza y=-x e coincide con la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

    Grazie alla simmetria assiale di cui gode il grafico di f(x) possiamo asserire che la funzione data ha un asintoto obliquo destro di equazione y=x, coincidente con la bisettrice del primo e terzo quadrante.

    Passando alla derivata prima, abbiamo per la regola di derivazione della funzione composta

    f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

    dobbiamo studiarne il segno per dedurre le informazioni sulla monotonia della funzione f(x), quindi risolviamo la disequazione fratta

    f'(x)\geq 0\iff \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ge 0

    senza fare nemmeno mezzo calcolo (il denominatore è sempre positivo!) risulta che la derivata prima è positiva se x>0, quindi in tale intervallo la funzione f(x) è crescente, mentre è decrescente in x<0.

    Ergo: in x=0 abbiamo un punto di minimo per f(x), in cui la funzione assume il minimo valore sul suo dominio: f(0)=1.

    Per la convessità e i punti di flesso, ci serve la derivata seconda, che si calcola con la regola di derivazione del rapporto di funzioni:

    \\ f''(x)=\frac{1\cdot \sqrt{x^2+1}-x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}= \\ \\ \\ =\frac{\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=

    e scrivendo la frazione di frazioni in forma normale

    =\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}

    La derivata seconda è positiva su tutto il dominio di f(x), quindi f(x) è convessa su tutto il suo dominio e non ci sono punti di flesso.

    Da ultimo puoi disegnare online il grafico della funzione.

    Risposta di Omega
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