Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione fratta di secondo grado

    1+\frac{2x}{x^2-1}+\frac{x}{x+1}=0

    dobbiamo innanzitutto imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, per cui otteniamo due relazioni.

    La prima

    x^2-1\ne 0

    si risolve osservando che il primo membro è una differenza di quadrati che si scompone come prodotto tra la somma e la differenza dei monomi x\ \mbox{e}\ 1

    (x-1)(x+1)\ne 0

    Interviene a questo punto la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se i fattori che lo compongono sono tutti diversi da zero

    x-1\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ x+1\ne 0

    da cui

    x\ne 1 \ \ \ ; \ \ \ x\ne -1

    La non nullità del secondo denominatore fornisce il vincolo

    x+1\ne 0

    che però è già incluso nel caso precedente.

    Possiamo affermare che il C.E. è dato da:

    C.E.: \ x\ne -1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne 1

    dove \wedge è il simbolo matematico che individua il connettivo logico "e".

    Ora scriviamo i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione in forma normale: dobbiamo fare in modo che al secondo membro ci sia zero, mentre al primo deve comparire un'unica frazione algebrica.

    Per raggiungere il nostro obiettivo, scomponiamo la differenza di quadrati al denominatore del secondo addendo

    1+\frac{2x}{(x+1)(x-1)}+\frac{x}{x+1}=0

    dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{(x+1)(x-1)+2x+x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=0

    In virtù del secondo principio di equivalenza delle equazioni, possiamo cancellare il denominatore comune, tanto con le condizioni di esistenza che abbiamo imposto, non si annulla mai.

    (x+1)(x-1)+2x+x(x-1)=0

    Sviluppiamo i calcoli, cominciando dai prodotti

    x^2-1+2x+x^2-x=0

    e, una volta sommati i monomi simili, ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti di x

    2x^2+x-1=0

    Grazie ai passaggi algebrici, ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa, i cui coefficienti sono

    a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=1 \ \ \ ; \ \ \ c=-1

    Calcoliamo il discriminante con la formula

    \Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2 \cdot (-1)=1+8=9

    Poiché esso è positivo, garantisce che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si ottengono mediante la relazione

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\\ \\ \\ =\frac{-1\pm 3}{4}=\begin{cases}\frac{-1-3}{4}=-\frac{4}{4}=-1=x_1 \\ \\ \frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=x_2\end{cases}

    A questo punto bisogna confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza, in modo da individuare gli eventuali falsi positivi.

    x_1=-1 non è una soluzione accettabile perché viola la condizione x\ne -1;

    x_2=\frac{1}{2} è soluzione dell'equazione fratta perché soddisfa entrambe le condizioni di esistenza.

    In definitiva, concludiamo che l'equazione fratta di secondo grado ammette un'unica soluzione x_2=\frac{1}{2}, di conseguenza il suo insieme soluzione è:

    S=\left\{\frac{1}{2}\right\}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra