Soluzioni
  • Ciao nicolò arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie!!
    Risposta di Nicoló
  • Abbiamo l'integrale:

    \int_0^{\ln(7)}\frac{1}{1+\cosh(x)}dx

    Ricordiamo la definizione di coseno iperbolico:

    \cosh(x)= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

    l'integrale si esprime come:

    \int_0^{\ln(7)}\frac{1}{1+\frac{e^x+e^{-x}}{2}}dx=

    \int_0^{\ln(7)}\frac{1}{1+\frac{e^{2x}+1}{2e^{x}}}dx=

    \int_0^{\ln(7)}\frac{2e^x}{2e^x+e^{2x}+1}dx

    Ponendo

    t= e^x\implies dt = e^x dx

    mentre gli estremi di integrazione diventano:

    t_1= e^0=1

    t_2= e^{\ln(7)}=7

    L'integrale si riscrive come:

    \int_1^{7}\frac{2}{2t+t^2+1}dt=

    2\int_1^7\frac{1}{(t+1)^2}dt=

    2\int_1^7 (t+1)^{-2}dt

    A questo punto osserva che l'integrale si presenta nella forma:

    \int f'(t)f^\alpha(t)dt=\frac{f(t)^{\alpha+1}}{\alpha+1}\quad \alpha\ne -1

    Possiamo concludere che:

    2\int_1^7 (t+1)^{-2}dt=2\left[\frac{(t+1)^{-2+1}}{-2+1}\right]_1^7=

    2\left[-(t+1)^{-1}\right]_1^7= 2[-(7+1)^{-1}+(1+1)^{-1}]= 2\left[-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right]= \frac{3}{4}

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!!
    Risposta di Nicoló
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