Integrale definito fratto con coseno iperbolico

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Ciao, come si risolve questo integrale definito? Come mi coporto dato che c'è il coseno iperbolico?

 

Integrale definito da 0 a ln(7) di 1 / ( 1 + cosh(x) )

 

Grazie in anticipo!

Domanda di Nicoló

 
Soluzioni

  • Ciao nicolò arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie!!
    Risposta di Nicoló

  • Abbiamo l'integrale:

    ∫_0^(ln(7))(1)/(1+cosh(x))dx

    Ricordiamo la definizione di coseno iperbolico:

    cosh(x) = (e^(x)+e^(-x))/(2)

    l'integrale si esprime come:

    ∫_0^(ln(7))(1)/(1+(e^x+e^(-x))/(2))dx =

    ∫_0^(ln(7))(1)/(1+(e^(2x)+1)/(2e^(x)))dx =

    ∫_0^(ln(7))(2e^x)/(2e^x+e^(2x)+1)dx

    Ponendo

    t = e^x ⇒ dt = e^x dx

    mentre gli estremi di integrazione diventano:

    t_1 = e^0 = 1

    t_2 = e^(ln(7)) = 7

    L'integrale si riscrive come:

    ∫_1^(7)(2)/(2t+t^2+1)dt =

    2∫_1^7(1)/((t+1)^2)dt =

    2∫_1^7 (t+1)^(-2)dt

    A questo punto osserva che l'integrale si presenta nella forma:

    ∫ f'(t)f^α(t)dt = (f(t)^(α+1))/(α+1) α ne-1

    Possiamo concludere che:

    2∫_1^7 (t+1)^(-2)dt = 2[((t+1)^(-2+1))/(-2+1)]_1^7 =

    2[-(t+1)^(-1)]_1^7 = 2[-(7+1)^(-1)+(1+1)^(-1)] = 2[-(1)/(8)+(1)/(2)] = (3)/(4)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!!
    Risposta di Nicoló
 
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