Distanza di un punto da una retta nello spazio con versore

Il calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio non è immediato perché è necessario calcolare prima di tutto la proiezione ortogonale del punto sulla retta.

Nel caso in esame dobbiamo determinare la distanza tra la retta passante per l'origine e parallela al versore

e il punto e per farlo ci atterremo alla seguente strategia:

1. esplicitiamo l'equazione vettoriale della retta, passante per l'origine degli assi coordinati e parallela a .

2. cerchiamo il piano perpendicolare alla retta  e passante per il punto ;

3. determiniamo il punto di intersezione tra la retta e il piano: per costruzione sarà la proiezione ortogonale di sulla retta .

4. Usando la formula della distanza tra punti nello spazio, calcoliamo la distanza tra e che per definizione coincide con la distanza tra la retta e il punto

Per scrivere l'equazione vettoriale della retta passante per l'origine e parallela al vettore è sufficiente rifarsi alla relazione

e scrivere

Si osservi che è stato praticamente promosso a vettore direttore della retta.

Per ricavare il piano passante per e perpendicolare alla retta , consideriamo la stella di piani passanti per

e sostituiamo   con le componenti del versore :

Implicitamente abbiamo scelto come vettore normale al piano il vettore direzionale di e ciò garantisce la perpendicolarità tra i due.

Moltiplicando i due membri per l'equazione del piano diventa

Intersecando con la retta otterremo il punto che è la proiezione ortogonale di su . Impostiamo dunque il sistema composto dalle equazioni della retta e da quella del piano

Sostituendo e nell'equazione del piano otteniamo la seguente equazione di primo grado nell'incognita :

Se sostituiamo nelle prime due equazioni del sistema determiniamo quelle che sono a tutti gli effetti le coordinate del punto

Calcoliamo la distanza tra i punti con la seguente formula

Per definizione di distanza punto-retta possiamo concludere che la distanza tra e è :

Abbiamo finito!