Soluzioni
  • Il calcolo della distanza di un punto da una retta nello spazio non è immediato perché è necessario calcolare prima di tutto la proiezione ortogonale del punto sulla retta.

    Nel caso in esame dobbiamo determinare la distanza tra la retta r passante per l'origine e parallela al versore

    \hat{\mathbf{v}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)

    e il punto P(1,1,1) e per farlo ci atterremo alla seguente strategia:

    1. esplicitiamo l'equazione vettoriale della retta, passante per l'origine degli assi coordinati O(0,0,0) e parallela a \hat{v}.

    2. cerchiamo il piano perpendicolare alla retta r e passante per il punto P(1,1,1);

    3. determiniamo il punto di intersezione H tra la retta e il piano: per costruzione sarà la proiezione ortogonale di P sulla retta r.

    4. Usando la formula della distanza tra punti nello spazio, calcoliamo la distanza tra P e H che per definizione coincide con la distanza tra la retta r e il punto P.

    Per scrivere l'equazione vettoriale della retta r passante per l'origine e parallela al vettore \hat{\mathbf{v}} è sufficiente rifarsi alla relazione

    r:\ (x,y,z)=(x_{O},y_{O},z_{O})+\hat{\mathbf{v}} t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    e scrivere

    r:\ (x,y,z)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Si osservi che \hat{\mathbf{v}} è stato praticamente promosso a vettore direttore della retta.

    Per ricavare il piano passante per P(1,1,1) e perpendicolare alla retta r, consideriamo la stella di piani passanti per P

    \pi:\ a (x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0

    e sostituiamo a,b,c  con le componenti del versore \hat{\mathbf{v}}:

    \pi:\ \frac{x-1}{\sqrt{2}}-\frac{y-1}{\sqrt{2}}=0

    Implicitamente abbiamo scelto come vettore normale al piano il vettore direzionale di r e ciò garantisce la perpendicolarità tra i due.

    Moltiplicando i due membri per \sqrt{2} l'equazione del piano diventa

    \pi:\ x-y=0

    Intersecando \pi con la retta r otterremo il punto H che è la proiezione ortogonale di P su r. Impostiamo dunque il sistema composto dalle equazioni della retta e da quella del piano

    \begin{cases}x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}t\\ \\ y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}t\\ \\ z=0 \\ \\ x-y=0\end{cases}

    Sostituendo x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}t e y=\frac{1}{\sqrt{2}}t nell'equazione del piano otteniamo la seguente equazione di primo grado nell'incognita t:

    \frac{1}{\sqrt{2}}t+\frac{1}{\sqrt{2}}t=0\ \ \ \ \to \ \ \ t=0

    Se sostituiamo t=0 nelle prime due equazioni del sistema determiniamo quelle che sono a tutti gli effetti le coordinate del punto H

    H(x_{H},y_{H},z_{H})=(0,0,0)

    Calcoliamo la distanza tra i punti P\ \mbox{e} \ H con la seguente formula

    \\ d(P,H)=\sqrt{(x_{P}-x_{H})^2+(y_{P}-y_{H})^2+(z_{P}-z_{H})^2}= \\ \\ =\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{3}

    Per definizione di distanza punto-retta possiamo concludere che la distanza tra r e P è \sqrt{3}:

    d(r,P)=d(H,P)=\sqrt{3}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare