Calcoli con prodotti notevoli (quadrato di un trinomio)

Question

Mi servirebbe il vostro aiuto per ricavare lo sviluppo di due quadrati di binomio usando il prodotto notevole omonimo. Il primo è a coefficienti fratti e qui non so proprio dove metterci mano. Il secondo è a coefficienti interi e sembrerebbe più facile, però non mi tornano gli esponenti delle lettere. Usare la regola sul quadrato di trinomio per esplicitare le seguenti potenze di polinomi: ; (a) (x-(1)/(2)y+2z)^2 ; (b) (a+ab+c^2)^2 Grazie mille.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

L'esercizio ci chiede di sviluppare due potenze di polinomi con un prodotto notevole ben preciso: il quadrato di un trinomio.

Prima di dedicarci al problema, effettuiamo un breve preambolo teorico. La regola del quadrato di un trinomio è:

ed è quel prodotto notevole che consente di esprimere il quadrato della somma di tre monomi come il polinomio formato dalla somma dei quadrati dei tre monomi aumentata dalla somma dei loro doppi prodotti misti.

Per esplicitare l'espressione di quadrato:

(x-(1)/(2)y+2z)^2 =

occorre prima di tutto esprimerlo nella forma più comoda:

= (x+(-(1)/(2)y)+2z)^2

e applicare la regola prendendo

Sostituiti nel prodotto notevole, ricaviamo l'uguaglianza:

(x+(-(1)/(2)y)+2z)^2 = x^2+(-(1)/(2)y)^2+(2z)^2+2·x·(-(1)/(2)y)+2·x·(2z)+2·(-(1)/(2)y)·(2z) =

A questo punto svolgiamo le operazioni tra i monomi, assicurandoci di usare le dovute proprietà delle potenze e la regola dei segni

Ecco fatto!

Per sviluppare il quadrato di trinomio

utilizziamo la stessa regola vista per il caso precedente. In questa circostanza:

e operando le sostituzioni all'interno del prodotto notevole

ricaviamo lo sviluppo richiesto

(a+ab+c^2)^2 = a^2+(ab)^2+(c^2)^2+2·a·ab+2·a·c^2+2·ab·c^2 =

Chiaramente l'espressione va scritta in forma normale, svolgendo le potenze dei monomi e i prodotti

Ecco fatto!