Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di sviluppare due potenze di polinomi con un prodotto notevole ben preciso: il quadrato di un trinomio.

    Prima di dedicarci al problema, effettuiamo un breve preambolo teorico. La regola del quadrato di un trinomio è:

    (A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

    ed è quel prodotto notevole che consente di esprimere il quadrato della somma di tre monomi come il polinomio formato dalla somma dei quadrati dei tre monomi aumentata dalla somma dei loro doppi prodotti misti.

    Per esplicitare l'espressione di quadrato:

    \left(x-\frac{1}{2}y+2z\right)^2=

    occorre prima di tutto esprimerlo nella forma più comoda:

    =\left(x+\left(-\frac{1}{2}y\right)+2z\right)^2

    e applicare la regola prendendo

    A=x\ \ \ , \ \ \ B=-\frac{1}{2}y \ \ \ , \ \ \ C=2z

    Sostituiti nel prodotto notevole, ricaviamo l'uguaglianza:

    \\ \left(x+\left(-\frac{1}{2}y\right)+2z\right)^2= \\ \\ \\ =x^2+\left(-\frac{1}{2}y\right)^2+(2z)^2+2\cdot x\cdot\left(-\frac{1}{2}y\right)+2\cdot x\cdot (2z)+2\cdot\left(-\frac{1}{2}y\right)\cdot (2z)=

    A questo punto svolgiamo le operazioni tra i monomi, assicurandoci di usare le dovute proprietà delle potenze e la regola dei segni

    =x^2+\frac{1}{4}y^2+4z^2-xy+4xz-2yz

    Ecco fatto!

     

    Per sviluppare il quadrato di trinomio

    \left(a+ab+c^2\right)^2

    utilizziamo la stessa regola vista per il caso precedente. In questa circostanza:

    A=a \ \ \ , \ \ \ B=ab \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=c^2

    e operando le sostituzioni all'interno del prodotto notevole

    (A+B+C)^2= A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

    ricaviamo lo sviluppo richiesto

    \\ (a+ab+c^2)^2= \\ \\ = a^2+(ab)^2+(c^2)^2+2\cdot a \cdot ab+2\cdot a\cdot c^2+2\cdot ab\cdot c^2=

    Chiaramente l'espressione va scritta in forma normale, svolgendo le potenze dei monomi e i prodotti

    =a^2+a^2b^2+c^{4}+2a^{2}b+2ac^2+2abc^2

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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