Soluzioni
  • Ciao Rori, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine ricorreremo al metodo di somiglianza

    y''+4y'+5y=2e^{-x}

    con le condizioni al bordo

    y(0)=1\mbox{ ; }y'(0)=-4\lambda^2

    partiamo risolvendo l'equazione omogenea associata

    y''+4y'+5y=0

    e ne consideriamo l'equazione caratteristica

    z^2+4z+5=0

    tale equazione ha due soluzioni complesse coniugate: z_1=-2+i\mbox{ ; }z_2=-2-i, di conseguenza la soluzione dell'omogenea è della forma

    y(x)=c_1e^{(-2+i)x}+c_2e^{(-2-i)x}

    Grazie all'identità di Eulero e^{\alpha+i\beta}=e^{\alpha}\cos{(\beta)}+ie^{\alpha}\sin{(\beta)}

    possiamo, con un paio di calcoli, dare una forma un po' più semplice alla soluzione dell'omogenea

    y(x)=C_1e^{-2x}\cos{(x)}+C_2e^{-2x}\sin{(x)}

    dove C_1,C_2 non sono le stesse costanti c_1,c_2.

    Passiamo a determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale

    y''+4y'+5y=2e^{-x}

    Cerchiamo una soluzione della forma 

    y_P(x)=ae^{-x}

    (in accordo con quanto stabilito dal metodo di somiglianza) e la determiniamo per sostituzione diretta all'interno dell'equazione differenziale

    y''+4y'+5y=2e^{-x}

    sostituendo 

    y_P(x)=ae^{-x}

    y_P'(x)=-ae^{-x}

    y_P''(x)=ae^{-x}

    così facendo si ricava

    2ae^{-x}=2e^{-x}

    per cui ne ricaviamo che a=1, e quindi

    y_P(x)=e^{-x}

    La soluzione generale dell'equazione differenziale è data dalla somma tra la soluzione dell'omogenea associata e la soluzione particolare dell'equazione stessa 

    y(x)=e^{-x}+C_1e^{-2x}\cos{(x)}+C_2e^{-2x}\sin{(x)}

    fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • mi scuso per aver improvvisato a scrivere le formule...ho utilizzato ^ per indicare elevato..

    grazie

    Risposta di rori
  • Ok, questo l'avevo capito...Laughing

    Ti torna il procedimento?

    Risposta di Omega
  • si si grazie! Smile 

    per trovare λ?

    Risposta di rori
  • Prego! :)

    Prima di trovare \lambda, bisogna imporre le due condizioni al bordo per fissare le due costanti C_1,C_2. Per farlo, prima si usa la condizione

    y(0)=1

    cioè si sostituisce x=0 nella soluzione e si sosistuisce y(0)=1 al posto della y.

    Poi, si deriva la soluzione y(x) e si usa allo stesso modo la condizione

    y'(x)=-4\lambda^2

    In questo modo si fissa il valore dell costanti C_1,C_2, e si trova proprio la soluzione del risultato. Che però dipende da \lambda...

    ...per fissare \lambda, si sfrutta la condizion aggiuntiva 

    y\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{-x}

    cioè si valuta la soluzione (con le costanti C_1,C_2 già fissate) in x=\pi/2 e la si pone uguale a e^{-x}, e...

    ...hai finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusami per trovare le C?prima si trova la C rispetto la prima condizione e poi con λ come funziona?

    Risposta di rori
  • Leggi con attenzione la mia precedente risposta...non so se l'hai vista (vedo che la tua ultima replica è stata postata un minuto dopo la mia ultima replica...)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusa ma ho letto la risposta dopo averti scritto...fino a che applico la prima condizione ci sono, mi esce C1=0  se è giusta, ma poi non mi tornano i conti..devo fare la derivata della soluzione y(x) con le costanti e poi applico la seconda condizione?non mi esce C2..

    Risposta di rori
  • E' corretto che ti risulti C_1=0. Con questo valore la soluzione si riscrive come

    y(x)=e^{-x}+C_2e^{-2x}\sin{(x)}

    ora derivala e imponi 

    y'\left(0\right)=-4\lambda^2

    otterrai un valore di C_2 dipendente da \lambda^2

    Sostituisci tale valore di C_2 nella soluzione y(x) e impni la condizione aggiuntiva: in questo modo trovi \lambda.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • okkk ci sonoSmile..

    l'ultimo problemino alla fine mi rimane un +1 di troppo sotto radice...quando impongo la condizione con x=∏/2 e y(x)=e ^x   nell'equazione quest'ultima x dell'esponenziale devo imporre sempre che sia uguale a ∏/2?

    Risposta di rori
  • La costante C_2 torna: C_2=1-4\lambda^2.

    Ricontrolla la condizione per \lambda che hai postato nel testo della domanda: alla luce della forma della soluzione non può essere

    y(\pi/2)=e^{-2x}

    il secondo membro deve essere un numero, non una funzione.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok!!!venutaaaaaLaughing ...hai ragione infatti non mi veniva perchè ho anche sbagliato a scrivere, perchè  y(∏/2)= e ^(-∏) Tongue out ...sorry..

    grazieeeee milleeeeeeeee Laughing

    Risposta di rori
  • Nessun problema, figurati! :)

    Ponici pure tutte le domande che vuoi, e se pensi che YM sia utile, potresti mettere un bel "like" sulla nostra pagina Facebook Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok grazie!Laughing sarà fattoLaughing

    Risposta di rori
  • Grazie a te!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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