Problema di Cauchy del secondo ordine con parametro

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Mi spiegate come svolgere questo problema di Cauchy del secondo ordine con condizioni iniziali dipendenti da un parametro?

 

y''+4y'+5y = 2e^(-x)

 

soggetta alle condizioni y(0) = 1 ; y'(0) = -4λ^2

 

Devo risolvere il problema di Cauchy e determinare poi il valore del parametro λ per cui risulti y(π/2) = e^(-x). Ho la soluzione ed è

 

y(x) = (1-4 λ^2) e^(-2x)sin(x)+e^(-x)

 

λ = ±(√(e^(π/2)))/(2)

 

Mi potete aiutare? Sono già in difficoltà con la risoluzione dell'equazione differenziale. Vi ringrazio in anticipo.

Domanda di rori

 
Soluzioni

  • Ciao Rori, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine ricorreremo al metodo di somiglianza

    y''+4y'+5y = 2e^(-x)

    con le condizioni al bordo

    y(0) = 1 ; y'(0) = -4λ^2

    partiamo risolvendo l'equazione omogenea associata

    y''+4y'+5y = 0

    e ne consideriamo l'equazione caratteristica

    z^2+4z+5 = 0

    tale equazione ha due soluzioni complesse coniugate: z_1 = -2+i ; z_2 = -2-i, di conseguenza la soluzione dell'omogenea è della forma

    y(x) = c_1e^((-2+i)x)+c_2e^((-2-i)x)

    Grazie all'identità di Eulero e^(α+iβ) = e^(α)cos(β)+ie^(α)sin(β)

    possiamo, con un paio di calcoli, dare una forma un po' più semplice alla soluzione dell'omogenea

    y(x) = C_1e^(-2x)cos(x)+C_2e^(-2x)sin(x)

    dove C_1,C_2 non sono le stesse costanti c_1,c_2.

    Passiamo a determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale

    y''+4y'+5y = 2e^(-x)

    Cerchiamo una soluzione della forma 

    y_P(x) = ae^(-x)

    (in accordo con quanto stabilito dal metodo di somiglianza) e la determiniamo per sostituzione diretta all'interno dell'equazione differenziale

    y''+4y'+5y = 2e^(-x)

    sostituendo 

    y_P(x) = ae^(-x)

    y_P'(x) = -ae^(-x)

    y_P''(x) = ae^(-x)

    così facendo si ricava

    2ae^(-x) = 2e^(-x)

    per cui ne ricaviamo che a = 1, e quindi

    y_P(x) = e^(-x)

    La soluzione generale dell'equazione differenziale è data dalla somma tra la soluzione dell'omogenea associata e la soluzione particolare dell'equazione stessa 

    y(x) = e^(-x)+C_1e^(-2x)cos(x)+C_2e^(-2x)sin(x)

    fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • mi scuso per aver improvvisato a scrivere le formule...ho utilizzato ^ per indicare elevato..

    grazie

    Risposta di rori

  • Ok, questo l'avevo capito...Laughing

    Ti torna il procedimento?

    Risposta di Omega

  • si si grazie! Smile 

    per trovare λ?

    Risposta di rori

  • Prego! :)

    Prima di trovare λ, bisogna imporre le due condizioni al bordo per fissare le due costanti C_1,C_2. Per farlo, prima si usa la condizione

    y(0) = 1

    cioè si sostituisce x = 0 nella soluzione e si sosistuisce y(0) = 1 al posto della y.

    Poi, si deriva la soluzione y(x) e si usa allo stesso modo la condizione

    y'(x) = -4λ^2

    In questo modo si fissa il valore dell costanti C_1,C_2, e si trova proprio la soluzione del risultato. Che però dipende da λ...

    ...per fissare λ, si sfrutta la condizion aggiuntiva 

    y((π)/(2)) = e^(-x)

    cioè si valuta la soluzione (con le costanti C_1,C_2 già fissate) in x = π/2 e la si pone uguale a e^(-x), e...

    ...hai finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • scusami per trovare le C?prima si trova la C rispetto la prima condizione e poi con λ come funziona?

    Risposta di rori

  • Leggi con attenzione la mia precedente risposta...non so se l'hai vista (vedo che la tua ultima replica è stata postata un minuto dopo la mia ultima replica...)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • scusa ma ho letto la risposta dopo averti scritto...fino a che applico la prima condizione ci sono, mi esce C1=0  se è giusta, ma poi non mi tornano i conti..devo fare la derivata della soluzione y(x) con le costanti e poi applico la seconda condizione?non mi esce C2..

    Risposta di rori

  • E' corretto che ti risulti C_1 = 0. Con questo valore la soluzione si riscrive come

    y(x) = e^(-x)+C_2e^(-2x)sin(x)

    ora derivala e imponi 

    y'(0) = -4λ^2

    otterrai un valore di C_2 dipendente da λ^2

    Sostituisci tale valore di C_2 nella soluzione y(x) e impni la condizione aggiuntiva: in questo modo trovi λ.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • okkk ci sonoSmile..

    l'ultimo problemino alla fine mi rimane un +1 di troppo sotto radice...quando impongo la condizione con x=∏/2 e y(x)=e ^x   nell'equazione quest'ultima x dell'esponenziale devo imporre sempre che sia uguale a ∏/2?

    Risposta di rori

  • La costante C_2 torna: C_2 = 1-4λ^2.

    Ricontrolla la condizione per λ che hai postato nel testo della domanda: alla luce della forma della soluzione non può essere

    y(π/2) = e^(-2x)

    il secondo membro deve essere un numero, non una funzione.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok!!!venutaaaaaLaughing ...hai ragione infatti non mi veniva perchè ho anche sbagliato a scrivere, perchè  y(∏/2)= e ^(-∏) Tongue out ...sorry..

    grazieeeee milleeeeeeeee Laughing

    Risposta di rori

  • Nessun problema, figurati! :)

    Ponici pure tutte le domande che vuoi, e se pensi che YM sia utile, potresti mettere un bel "like" sulla nostra pagina Facebook Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok grazie!Laughing sarà fattoLaughing

    Risposta di rori

  • Grazie a te!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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