Soluzioni
  • Ciao lely91 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ok, il trucco è porre:

     

    z= \frac{y}{x}

    derivando rispetto ad x otterra:

    z'= \frac{x y'-y}{x^2}= \frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}

    ora dal testo sappiamo che:

    y'= \frac{y}{x}+1 

    sostituendo abbiamo:

    z'= \frac{x y'-y}{x^2}= \frac{\frac{y}{x}+1}{x}-\frac{y}{x^2}=\frac{z+1}{x}-\frac{z}{x}= \frac{1}{x}

    Quindi l'equazione differenziale si riscrive come:

    z'=\frac{ 1}{x}\implies z= \ln|x|+c

     

    Ora noi sappiamo che z= \frac{y}{x} 

    sostituendo nella equazione:

    \frac{y}{x}= \ln|x|+c\implies y= x\ln|x|+c x

    Ora dobbiamo determinare la costante imponendo le condizioni iniziali:

    1= (-1)\ln|-1|+c(-1)\implies 1= -c\iff c=-1

    La soluzione dovrebbe essere:

    y(x)= x\ln|x|-x

    Risposta di Ifrit
  • ma la derivata di y/x rispetto a x non è semplicemente -y^2/x?

    Risposta di Lely91
  • no scusa volevo dire -y/x^2.

    Risposta di Lely91
  • Purtroppo no, la funzione y dipende da x, in realtà dovremmo scrivere y come y(x), non lo si fà per una questione estetica.

    Quindi quando derivi devi utilizzare la regola di derivazione del quoziente:

    D\left[\frac{y(x)}{x}\right]= \frac{y'(x)x-y(x)}{x^2} = \frac{x y'(x)-y(x)}{x^2}

    Risposta di Ifrit
  • Ad ogni modo ti torna la soluzione? Hai il risultato?

    Risposta di Ifrit
  • si.

    però ho notato che il professore solitamente utilizza un altro procedimento.

    cioè la soluzione di un eq dal tipo y'-a(x)y=b(x)

    è y(x)=ce^A(x)+e^A(x)(integrale e^-A(x) b(x) dx)

    dove A(x) è una primitiva di a(x).

    come devo rpocedere utilizzando questa formula?

    Risposta di Lely91
  • Scusami per il ritardo ero occupato con un altro esercizio. Puoi tranquillamente utilizzare la formula del tuo prof.

    Scriviamo l'equazione in forma canonica:

    y'-\frac{1}{x} y= 1

    A causa delle condizioni iniziali dobbiamo lavorare per x appartenente a (-infinito, 0)

    Nel nostro caso abbiamo che:

    a(x)= \frac{1}{x}\implies A(x)= \int_ {-1}^x\frac{1}{t}dt= \ln|x|= \ln(-x)\quad x\textless 0

    b(x)=1

    Di conseguenza:

    y(x)=  Ce^{\ln(-x)}+e^{\ln(-x)}\left(\int_{-1}^x e^{-\ln(-t)}\right)dt

    da cui:

    = -cx-x\int_{-1}^x -\frac{1}{t}dt= -cx-x[-\ln|t|]_{-1}^x= -cx+x\ln|x|

    Impostando le condizioni iniziali trovi c

    Risposta di Ifrit
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