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  • Ciao Namis, andiamo con ordine! :)


    Cosa vuol dire che il sistema di vettori S(v1,v2,v3,...,vt) è un sistema di generatori dello spazio vettoriale V?


    Sapendo che S genera V, possiamo dire che allora dim V=t? si, no, dire perchè.


    Risposta: dici bene. Se S è un sistema di generatori di V significa che V=L(S), cioè ogni elemento di V è esprimibile come combinazione lineare dei vettori del sistema di generatori.

    Attenzione però: come tu stessa dici la dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti estraibili dal sistema di generatori (cioè il numero di vettori di una base, che come sai è il sistema di generatori minimale, cioè avente come elementi solo vettori linearmente indipendenti). In un sistema di generatori non è detto che i vettori siano tutti linearmente indipendenti, quindi non è detto che la dimensione di V sia proprio uguale a t, sicuramente è minore o uguale a t.

     

    Nello spazio vettoriale V, cosa vuol dire che il sistema di vettori S(v1,v2,v3,...,vt) è linearmente indipendente? Sapendo che S è linearmente indipendente e che dimV=t, possiamo dire allora che S è una base di V? si,no, dire perchè.

     

    Risposta di Namis: vuol dire che i vettori in esso contenuti sono tutti linearmente indipendenti. Certo, S è una base di V perchè è un sistema di generatori di V in quanto i vettori sono linearmente indipendenti.


    Commento: nella tua risposta va specificato che S è base proprio perché la sua cardinalità è uguale alla dimensione di V.

     

    Dato un qualsiasi sistema di vettori contenente il vettore nullo, spiegare (si richiede di fornire una breve dimostrazione) perchè esso è sempre linearmente dipendente.

     

    Risposta di Namis: perchè esistono t scalari non tutti nulli tali che h1v1+h2v2+...+htvt=0.


    Commento: concisa, ma direi che ci siamo, basta osservare che il vettore 0, cioè quello a cui è uguale la combinazione lineare che hai scritto sopra fa parte del sistema, quindi hai scritto un vettore del sistema con una combinazione degli altri.

     

    Sia S(v1,v2,v3,...,vt) un sistema di t vettori in uno spazio vettoriale V su R. Se S è linearmente indipendente, è vero che dimVè maggiore o uguale di t? si, no, dire perchè.

     

    Risposta di Namis: se S è linearmente indipendente allora dimV=>t perchè in V possono esserci tranquillamente altri vettori linearmente indipendenti quindi dimV può essere maggiore di t, ma allo stesso tempo possono anche non esserci, e quelli linearmente indipendenti sono solo quelli del sistema S, quindi dimV=t; ricapitolando dimV è come minimo uguale a t.

    P.S.: se la domanda avesse detto che S è una base o un sistema di generatori allora sarebbe cambiato il gioco in quanto ogni vettore di S si sarebbe potuto scrivere come combinazione lineare dei vettori di S, ma in questo caso mi dice che è solo un sistema di t vettori linearmente indipendenti. Giusto?


    Corretto Namis! Sostanzialmente potremmo dire che il sistema S di vettori linearmente indipendenti sicuramente genera un sottospazio vettoriale di V, se non è tutto V allora S potrà essere completato con un altro vettore linearmente indiependente, il nuovo sottospazio sarà più grande del precedente, ma se ancora non fosse tutto V iteriamo il procedimento scegliendo un altro vettore linearmente indipendente...

     

    Dimostrare che R=((0,0,1)(1,2,-1)(1,1,0)) è un riferimento di R3 e determinare le componenti in R del vettore u(1,-1,-1).

     

    Risposta di Namis: per dimostrare che R è un riferimento di R3 devo dimostrare che i vettori sono linearmente indipendenti. Per calcolare le componenti invece metto a matrice il riferimento e faccio il prodotto riga per colonna tra matrice e vettore u.


    Commento: esattamente! 

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
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