Soluzioni
  • Consideriamo la funzione definita per casi

    f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x-1)}{|x-1|}+\ln(|x-3|)&\mbox{se} \ x\ne 1\wedge x\ne 3\\ 2&\mbox{se} \ x=1\vee x=3\end{cases}

    che grazie alla definizione di valore assoluto possiamo esprimere nella forma equivalente:

    f(x)=\begin{cases}-\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x)&\mbox{se} \ x<1\\ \\  \frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x)&\mbox{se} \ 1<x<3 \\ \\ \frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(x-3)&\mbox{se} \ x>3 \\ \\ 2&\mbox{se} \ x=1\vee x=3\end{cases}

    Si manifestano dunque quattro rami: il primo è

    f_{1}(x)=-\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x) \ \ \ \mbox{se} \ x<1

    e risulta essere una funzione continua sull'intervallo su cui è definito perché composizione di funzioni continue. Il secondo ramo è 

    f_{2}(x)=\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-1)\ \ \ \mbox{se} \ 1<x<3

    e risulta anch'esso continuo perché composizione di funzioni continue. Con le stesse motivazioni, si giustifica la continuità del terzo ramo

    f_{3}(x)=\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(x-3) \ \ \ \mbox{se} \ x>3

    Gli unici punti su cui abbiamo dei dubbi sulla continuità sono i cosiddetti punti di raccordo, ossia quei punti in cui la funzione cambia la sua espressione analitica: x=1, \ x=3.

    Studiamo il comportamento della funzione nell'intorno bucato di 1 considerando il limite destro e sinistro per x\to1. Dobbiamo però tenere gli occhi aperti perché prima di 1 e dopo di 1 la funzione cambia la sua legge.

    Consideriamo il limite sinistro per x\to1, ossia il limite per x che tende a 1 per valori minori di 1. Proprio perché x<1 lavoriamo con il primo ramo della funzione e scriviamo il limite

    \lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}\left(-\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x)\right)=-1+\ln(2)

    il cui risultato si giustifica utilizzando il limite notevole della funzione seno.

    Per quanto concerne il limite destro, utilizzeremo il secondo ramo della funzione giacché x\to1 per valori maggiori di 1

    \lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x)\right)=1+\ln(2)

    Il limite destro e il limite sinistro per x\to1 sono finiti ma non coincidono pertanto x=1 è un punto di discontinuità di prima specie (o a salto).

     

    Analizziamo la continuità della funzione nel punto x=3. Costruiamo il limite destro e il limite sinistro per x\to3 stando ancora una volta attenti al ramo da prendere in esame.

    Quando x\to3^{+}, ossia quando x tende a 3 per valori maggiori di 3, faremo riferimento al terzo ramo

    \lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(x-3)\right)=\left[\frac{\sin(2)}{2}+\ln(0^{+})\right]=-\infty

    Il risultato è -\infty in base all'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Per quanto concerne il limite sinistro, esso diventa

    \lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{-}}\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}+\ln(3-x)\right)=\left[\frac{\sin(2)}{2}+\ln(0^+)\right]=-\infty

    in accordo con l'andamento della funzione logaritmica, con base maggiore di 1, nell'intorno destro di 0. Il limite destro e quello sinistro coincidono ma non sono finiti, di conseguenza x=3 è un punto di discontinuità di seconda specie.

    Finito.

    Risposta di Ifrit
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