Soluzioni
  • Ciao Fuivito arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo il seguente problema di Cauchy:

    \begin{cases}y'= y^3 \sin(2x)\cos(2x)\\ y(0)= \sqrt{2}\end{cases}

    L'equazione differenziale è del tipo:

    y'=a(x) b(y)

    cioè è un'equazione differenziale a variabili separabili

    dove

    a(x)= \sin(2x)\cos(2x)= \frac{\sin(4x)}{2}

    che è una funzione continua in tutto l'asse reale

    b(y)= y^3

    che è continua e derivabile in tutto l'asse reale. Abbiamo quindi soddisfatto le condizioni del teorema di esistenza e unicità locale. Troviamo prima le soluzioni costanti imponendo che

    b(y)=0\iff y^3= 0\iff y=0

    però non rispetta la condizione iniziale e quindi non è soluzione del problema di Cauchy. Ora separiamo le variabili imponendo che y sia diverso da zero. Prima di procedere però è necessario osservare che grazie a questa posizione, y può assumere sempre o valori positivi o valori negativi, quindi l'insieme in cui varia y può essere o (-infinito, 0) oppure (0, +infinito). Grazie alle condizioni iniziali, sappiamo che l'intervallo da considerare è (0, +infinito), la nostra y quindi è positiva. Adesso separiamo le variabili:

    \int \frac{1}{y^3}dy= \int \frac{\sin(4x)}{2}dx

    -\frac{1}{2y^2}= -\frac{1}{8}\cos(4x)+c

    determiniamo la costante c, imponendo le condizioni iniziali:

    -\frac{1}{4}= -\frac{1}{8}+c\implies c= -\frac{1}{8}

    Sostituiamo nella equazione:

    -\frac{1}{2y^2}= -\frac{1}{8}\cos(4x)-\frac{1}{8}

    Adesso risolviamo rispetto ad y:

    \frac{1}{2y^2}= \frac{1}{8}\cos(4x)+\frac{1}{8}

    moltiplichiamo per 2 membro a membro:

    \frac{1}{y^2}= \frac{1}{4}\cos(4x)+\frac{1}{4}

    Passiamo ai reciproci membro a membro:

    y^2= \frac{1}{\frac{1}{4}\cos(4x)+\frac{1}{4}}

    Semplificando ulteriormente:

    y^2= \frac{4}{\cos(4x)+1}

    Estraendo la radice quadrata membro a membro:

    |y|= \sqrt{\frac{4}{\cos(4x)+1}}

    Ora per questioni di dominio la nostra y è certamente maggiore di zero (vedi prima)

    quindi |y|= y

    La soluzione è quindi:

    y(x)= \sqrt{\frac{4}{\cos(4x)+1}}

    Risposta di Ifrit
  • ma quando si va  trovare "c" imponendo le condizioni iniziali, si può sostituire

    {y=\sqrt{2}}

    anche se la y non è isolata? Quindi come hai fatto tu?

    Risposta di Fuivito
  • Certo che sì :) 

    Se però questo ti crea problemi, lo puoi fare anche dopo :)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi