Soluzioni
  • Ciao Xavier310, per sup e inf ti consiglio questa lezione e questa lezione.

    Per quanto riguarda i quesiti:

    Sia f,g : R→R due funzioni limitate, allora

     sup(-f ) = -sup( f )                           F

     sup(fg) ≤ sup(f)sup(g)                    V

     sup(-f ) = -inf( f )                             F

     sup(2 f ) ≤ 2sup( f )                        V

     sup( f +g) ≤ sup( f )+sup(g)          V

    Sia h > 0 un numero reale e n ϵ N allora

    qui il triangolo di Tartaglia  può essere di grandissimo aiuto

    (1+h)n ≥1+ nh                                  V

    (1+h)n ≥1+ nh2                                F (controesempio h=2, n=1)

    (1+h)n ≥1+ nh(n-1)                             V

    (1+h)n ≥1                                           V

    (1+h)n ≥1+n2h                                  F (controesempio h=1, n=2)

    (1+h)n ≥1+ [n(n-1)/2] h2                        V

    Risposta di Omega
  • Potresti farmi un esempio pratico sul fatto che 

    sup(-f ) = -sup( f )  è falsa  e anche  sul fatto che 

    sup(fg) ≤ sup(f)sup(g) è vera?

    Risposta di xavier310
  • Per 

    sup(-f ) = -sup( f )

    prendi come controesempio

    f(x)=|x|

    con

    x\in[-2,1].

    Per

    sup(fg) ≤ sup(f)sup(g)

    prendi come esempio

    f(x)=x, g(x)=log(x)

    sull'intervallo [1,2].

    Risposta di Omega
  • C'è una regola generale su cui fare affidamento, seguendo qualche dimostrazione? Oppure si risolvono solo in modo analitico, cioè sostituendo termini nelle espressioni?

    Risposta di xavier310
  • Qui il metodo analitico serve per trovare controesempi, se sai che l'affermazione in questione è falsa.

    Per quanto riguarda le potenze dei binomi, devi usare il triangolo di Tartaglia ed individuare sulla riga (n+1)-esima il generico coefficiente che compare nel membro di destra della disequazione. Questo coefficiente lo individui alla posizione 2 (se la potenza di h è 2) opp. n-1 (se la potenza di h è n-1) della riga.

    Se compare, la disuguaglianza è vera; se non compare, il suggerimento spassionato è quello di cercare un controesempio. A meno che la disuguaglianza non sia evidentissima, come nel caso della quarta...

     

    Risposta di Omega
  • non riesco a capire 

    sup(fg) ≤ sup(f)sup(g)? Facendo i grafici veo che i termini delle disuguaglianza sono uguali.

    Cèè qualche dimostrazione?

    Risposta di xavier310
  • Ma infatti il simbolo di disequazione è minore uguale, non minore stretto...

    Risposta di Omega
 
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