Domande Vero o Falso sui numeri reali, sup e inf e potenze di binomi

Ciao Xavier310, per sup e inf ti consiglio questa lezione e questa lezione.

Per quanto riguarda i quesiti:

Sia f,g : R→R due funzioni limitate, allora

 sup(-f ) = -sup( f )                           F

 sup(fg) ≤ sup(f)sup(g)                    V

 sup(-f ) = -inf( f )                             F

 sup(2 f ) ≤ 2sup( f )                        V

 sup( f +g) ≤ sup( f )+sup(g)          V

Sia h > 0 un numero reale e n ϵ N allora

qui il triangolo di Tartaglia  può essere di grandissimo aiuto

(1+h)ⁿ ≥1+ nh                                  V

(1+h)ⁿ ≥1+ nh²                                F (controesempio h=2, n=1)

(1+h)ⁿ ≥1+ nh^(n-1)                             V

(1+h)ⁿ ≥1                                           V

(1+h)ⁿ ≥1+n²h                                  F (controesempio h=1, n=2)

(1+h)ⁿ ≥1+ [n(n-1)/2] h²                        V

Per 

sup(-f ) = -sup( f )

prendi come controesempio

con

.

Per

sup(fg) ≤ sup(f)sup(g)

prendi come esempio

f(x)=x, g(x)=log(x)

sull'intervallo [1,2].

Qui il metodo analitico serve per trovare controesempi, se sai che l'affermazione in questione è falsa.

Per quanto riguarda le potenze dei binomi, devi usare il triangolo di Tartaglia ed individuare sulla riga (n+1)-esima il generico coefficiente che compare nel membro di destra della disequazione. Questo coefficiente lo individui alla posizione 2 (se la potenza di h è 2) opp. n-1 (se la potenza di h è n-1) della riga.

Se compare, la disuguaglianza è vera; se non compare, il suggerimento spassionato è quello di cercare un controesempio. A meno che la disuguaglianza non sia evidentissima, come nel caso della quarta...