Soluzioni
  • Ciao White arrivo  :D

    Non sparire, ti devo chiedere delucidazioni sulla traccia :P

    Risposta di Ifrit
  • a tua completa disposizione! :D

    Risposta di WhiteC
  • Il limite è questo? 

    \lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-2}\right)^{\frac{2}{x}}

    Surprised

    Risposta di Ifrit
  • esattamente..

    Risposta di WhiteC
  • \lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-2}\right)^{\frac{2}{x}}

    Consideriamo:

    \frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-2}= \frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1-2x}{x}}= \frac{1+x}{1-2x}

     

    Il limite si riscrive quindi come:

    \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{1-2x}\right)^{\frac{2}{x}}

    A questo punto scriviamo il limite come:

    \lim_{x\to 0}e^{\frac{2}{x}\ln\frac{1+x}{1-2x}}= e^{\lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(\frac{1+x}{1-2x}\right)}{x}}

    Concentriamoci sul limite all'esponente:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(\frac{1+x}{1-2x}\right)}{x}}

    Ora sommiamo e sottraiamo al numeratore dell'argomento del logaritmo 3x:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(\frac{1+x-3x+3x}{1-2x}\right)}{x}}

    otterremo infine:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(\frac{1-2x+3x}{1-2x}\right)}{x}}

    Quindi:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(1+\frac{3x}{1-2x}\right)}{x}}

     

    Ora

    \ln\left(1+\frac{3x}{1-2x}\right)\sim \frac{3x}{1-2x}

    possiamo quindi sostituirlo nel limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\cdot \frac{3x}{1-2x}}{x}}

    semplificando in modo opportuno avremo:

    \lim_{x\to 0}2\cdot \frac{3}{1-2x}}= 6

    Quindi

    \lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-2}\right)^{\frac{2}{x}}=e^{\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{2\ln\left(\frac{1+x}{1-2x}\right)}{x}}^{=6}}= e^6

     

    se hai domande sono qui :D

    Risposta di Ifrit
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