Soluzioni
  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Occhio che in questo limite c'è un tranello! 

    \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x^2}-1-\log{(1+x\arctan{(x)})}}{\sqrt{1+2x^4}-1}}

    Sviluppiamo in serie di Taylor-Mac Laurin:

    \arctan{(x)} fino al terzo ordine

    log{(1+x)} fino al terzo ordine

    e^{x^2}-1 fino al terzo ordine

    \sqrt{1+2x^4}-1 fino al primo ordine

    Complessivamente ci limiteremo a considerare le potenze quarte di x.

    La fregatura è insita nella composizione tra logaritmo e arcotangente. Wink Abbiamo

    \arctan{(x)}=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)

    log{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    e^{x^2}-1=x^2+\frac{x^4}{2}

    \sqrt{1+2x^4}-1=x^4+o(x^4)

    Ora occupiamoci della composizione

    \log{(1+x\arctan{(x)})}

    e sostituiamo lo sviluppo del termine x\arctan{(x)} nello sviluppo di \log{(1+x)}. Se ci limitiamo alle potenze quarte, c'è un contributo del termine quadratico dello sviluppo di x\arctan{(x)} di cui dobbiamo tenere conto nella sostituzione nel termine quadratico dello sviluppo di \log{(1+x)}.

    Tutto ciò che ha grado superiore a quattro lo tralasciamo

    \log{(1+x\arctan{(x)})}=x^2-\frac{x^4}{3}-\frac{x^4}{2}+o(x^4)

    Sostituendo il tutto nel limite, si trova

    \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x^2}-1-\log{(1+x\arctan{(x)})}}{\sqrt{1+2x^4}-1}}=\frac{4}{3}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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