Circonferenza di un fascio con centro su una retta

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Ciao, grazie a voi ho imparato quasi tutto sui fasci di circonferenze. Mi manca solo di capire come trovare la circonferenza in un fascio con il centro su una certa retta.

 

Ricapitolando: domani ho il compito di matematica. Se un esercizio sul fascio di circonferenze mi chiede di trovare l'asse radicale, metto a sistema le due circonferenze generatrici. Se mi chiede di trovare la circonferenza tangente a una retta, per esempio x-2y-3=0, metto a sistema la retta con il fascio di circonferenze.

 

Non so che fare se mi chiede di trovare in un fascio la circonferenza che ha il centro su una determinata retta o determinare la circonferenza che ha raggio 5 o determinare la circonferenza che ha il centro nel punto C(0;4)

 

Mi basta solo il procedimento, se volete ho un esercizio tipo:

 

tra le circonferenze del fascio determinato dalle due circonferenze di equazioni x^2+y^2-8x-6y+20=0 e 2x^2+2y^2-11x+3y=0, determinare quella:

1)passante per il punto C(3;0)

2)avente il centro sulla retta x-2y=0

3)avente il raggio di misura 5.

 

Grazie (:

Domanda di Francesca

 
Soluzioni

  • Ciao Francesca arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Ok, scriviamo il fascio di rette:

    x^2+y^2-8x-6y+20+k (2x^2+2y^2-11x+3y) = 0

    Dobbiamo scriverla in forma canonica:

    x^2+y^2-8x-6y+20+2kx^2+2k y^2-11k x+3k y = 0

    da cui:

    (1+2k)x^2+(1+2k)y^2+(-8-11k)x+(-6+3k)y+20 = 0

     

    Per 1+2k ne 0 ⇒ k ne-(1)/(2) dividiamo membro a membro per (1+2k)

    Γ:x^2+y^2+(-8-11k)/(1+2k)x+(-6+3k)/(1+2k)y+(20)/(1+2k) = 0

    Imponiamo il passaggio nel punto C(3, 0)

    C∈Γ ⇔ 3^2+(-8-11k)/(1+2k)·3+(20)/(1+2k) = 0

    Semplificando otterrai l'equazione in k:

    (5-15k)/(1+2k) = 0 ⇔ 5-15k = 0 ⇒ k = (1)/(3)

    Sostituendo a k il valore 1/3 otterremo:

    x^2-y^2-7x-3y+12 = 0

     

    che è l'equazione della circonferenza cercata.

     

    Abbiamo sempre l'equazione della circonferenza:

    Γ:x^2+y^2+(-8-11k)/(1+2k)x+(-6+3k)/(1+2k)y+(20)/(1+2k) = 0

    Sappiamo che il centro sta sulla retta di equazione:

    x-2y = 0

    Tienilo a mente!

    Osserviamo che dalla equazione canonica della circonferenza sappiamo che le coordinate del centro sono date da:

     

    C(-((-8-11k)/(1+2k))/(2),-((-6+3k)/(1+2k))/(2)) =

    = ((8+11k)/(2(1+2k)), (6-3k)/(2(1+2k)))

    Le coordinate del centro devono soddisfare l'equazione della retta, quindi:

    (8+11k)/(2(1+2k))-2(6-3k)/(2(1+2k)) = 0

    Minimo comune multiplo:

    (8+11k-12+6k)/(2(1+2k)) = 0

    Sommando i termini simili:

    (-4+17k)/(2(1+2k)) = 0 ⇒ k = (4)/(17)

     

    Andando a sostituire nella equazione il valore di k appena trovato avremo:

    (1)/(5)(5x^2+5 y^2-36x-18 y+68) = 0 ⇔ 5x^2+5y^2-36x-18y+68 = 0

     

    Data l'equazione canonica

    Γ:x^2+y^2+(-8-11k)/(1+2k)x+(-6+3k)/(1+2k)y+(20)/(1+2k) = 0

    la formula del raggio ci permette di affermare che:

    r = √((-((-8-11k)/(1+2k))/(2))^2+(-((3k-6)/(1+2k))/(2))^2-(20)/(1+2k))

    Imponendo l'equazione:

    r = 5 ⇒ √((-((-8-11k)/(1+2k))/(2))^2+(-((3k-6)/(1+2k))/(2))^2-(20)/(1+2k)) = 5

    Semplificando il più possibile l'equazione arriverai ad avere:

    (-5(8+42 k+27k^2))/(2(1+2k)^2) = 0

    Da cui otteniamo l'equazione:

    27 k^2+42k+8 = 0

    Risolvendo l'equazione di secondo grado avrai due k:

    k_1 = -(4)/(3)

    con cui otterrai l'equazione:

    x^2+y^2-4x+6y-12 = 0

    k_2 = -(2)/(9)

     

    con cui otterrai l'equazione:

    x^2+y^2-10x-12y+36 = 0

     

    Se hai domande, hai bisogno delle formule sono qui :D

    Risposta di Ifrit

  • grazie mille! provo a fare altri esercizi se ho problemi ti chiedo aiuto :D

    Risposta di Francesca

  • ciao di nuovo, facendo questo sistema mi trovo numeri stranissimi o.O il problema dice che la retta d'equazione 2x-y-5=0 è tangente alla circonferenza di equazione x^2+y^2-2x-4y e determinare il punto di contatto.  Io ho pensato di metterle a sistema ma come ho già scritto mi trovo numeri impossibili, l'ho svolto con il metodo della sostituzione....

    Risposta di Francesca

  • Vediamo un po'

    Abbiamo il sistema:

    x^2+y^2-2x-4y = 0 ; 2x-y-5 = 0

    x^2+y^2-2x-4y = 0 ; y = 2x-5

    Procediamo per sostituzione:

    x^2+(2x-5)^2-2x-4(2x-5) = 0 ; y = 2x-5

    Svolgendo i conti e sommando i termini simili:

    5x^2-30x+45 = 0 ; y = 2x-5

    Se guardi bene il primo membro della prima equazione avrai un quadrato di binomio:

    5(x-3)^2 = 0 ; y = 2x-5

    Dalla prima equazione avrai come soluzione

    x = 3

    sostituendo nella seconda:

    y = 2·3-5 = 1

    Il punto di contatto è quindi:

    (3, 1)

    Se ci sono domande sono sempre qui :D

    Risposta di Ifrit

  • grazie! è sempre facile quando me li spiegate e mi accorgo che faccio errori stupidi! ho un altro problema...non riesco a fare neanche questo sistema x^2+y^2+x-7 e x^2+y^2-2x+3y-4=0 ho fatto con il metodo di riduzione e mi viene 3x+3y-3 ma poi non so più che fare...

    Risposta di Francesca

  • Ti prego di scusarmi per il ritardo:

    x^2+y^2+x-7 = 0 ; x^2+y^2-2x+3y-4 = 0

    Il metodo di riduzione è perfetto! :D

    Sottraendo le equazioni membro a membro abbiamo:

    x+2x-3y-7+4 = 0

    quindi:

    3x-3y-3 = 0

    che è l'equazione dell'asse radicale :)

    Cosa ti serve qui? i punti di intersezione?

    Risposta di Ifrit

  • non ti preoccupare...comunque mi chiede di trovare i punti d'intersezione delle circonferenze rappresentate da quelle due equazioni. Grazie (:

    Risposta di Francesca

  • Ok, una volta determinato l'asse radicale, lo sostituisci al posto della seconda equazione ottenendo il sistema equivalente:

    x^2+y^2+x-7 = 0 ; 3x-3y-3 = 0

    A questo punto risolvi il sistema per sostituzione ma prima osserva che:

    3x-3y-3 = 0 ⇔ 3(x-y-1) = 0 ⇔ x-y-1 = 0

    quindi sostituiamo questa di equazione che ci semplifica i conti :D

    x^2+y^2+x-7 = 0 ; x-y-1 = 0

    Isoliamo x alla seconda equazione

    x^2+y^2+x-7 = 0 ; x = y+1

    sostituiamo nella prima equazione:

    (y+1)^2+y^2+(y+1)-7 = 0 ; x = y+1

    Svolgendo i conti otterremo il sistema:

    2y^2+3y-5 = 0 ; x = y+1

    Risolviamo l'equazione di secondo grado:

    Δ = 9-4·2·(-5) = 9+40 = 49 ⇒ √(Δ) = 7

    Quindi le due soluzioni sono:

    y_1 = (-3-7)/(4) = -(10)/(4) = -(5)/(2)

    y_2 = (-3+7)/(4) = (4)/(4) = 1

    Queste sono le ordinate dei punti di intersezione, per determinare le ascisse, sostituiamo i valori ottenuti nella equazione:

    x = y+1

    Avremo:

    x_1 = y_1+1 = -(5)/(2)+1 = -(3)/(2) 

    x_2 = y_2+1 = 1+1 = 2

    Quindi i punti di intersezione sono:

    A(-(3)/(2),-(5)/(2))

    B(2, 1)

    Sempre se non ho commesso errori di conto :P

    Risposta di Ifrit

  • no è perfetto! nessun errore, grazie millee! :D

    Risposta di Francesca
 
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