Soluzioni
  • Ciao Francesca arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ok, scriviamo il fascio di rette:

    x^2+y^2-8x-6y+20+k (2x^2+2y^2-11x+3y)=0

    Dobbiamo scriverla in forma canonica:

    x^2+ y^2-8x-6y+20+2kx^2+2k y^2-11k x+3k y=0

    da cui:

    (1+2k)x^2+(1+2k)y^2+(-8-11k)x+(-6+3k)y+20=0

     

    Per 1+2k\ne 0\implies k\ne -\frac{1}{2} dividiamo membro a membro per (1+2k)

    \Gamma:x^2+y^2+\frac{-8-11k}{1+2k}x+\frac{-6+3k}{1+2k}y+\frac{20}{1+2k}=0

    Imponiamo il passaggio nel punto C(3, 0)

    C\in\Gamma\iff 3^2+\frac{-8-11k}{1+2k}\cdot 3+\frac{20}{1+2k}=0

    Semplificando otterrai l'equazione in k:

    \frac{5-15k}{1+2k}=0\iff 5-15k=0\implies k= \frac{1}{3}

    Sostituendo a k il valore 1/3 otterremo:

    x^2-y^2-7x-3y+12=0

     

    che è l'equazione della circonferenza cercata.

     


    Abbiamo sempre l'equazione della circonferenza:

    \Gamma:x^2+y^2+\frac{-8-11k}{1+2k}x+\frac{-6+3k}{1+2k}y+\frac{20}{1+2k}=0

    Sappiamo che il centro sta sulla retta di equazione:

    x-2y=0

    Tienilo a mente!

    Osserviamo che dalla equazione canonica della circonferenza sappiamo che le coordinate del centro sono date da:

     

    C\left(-\frac{\frac{-8-11k}{1+2k}}{2}, -\frac{\frac{-6+3k}{1+2k}}{2}\right)=

    =\left(\frac{8+11k}{2(1+2k)}, \frac{6-3k}{2(1+2k)}\right)

    Le coordinate del centro devono soddisfare l'equazione della retta, quindi:

    \frac{8+11k}{2(1+2k)}-2\frac{6-3k}{2(1+2k)}=0

    Minimo comune multiplo:

    \frac{8+11k-12+6k}{2(1+2k)}=0

    Sommando i termini simili:

    \frac{-4+17k}{2(1+2k)}=0\implies k= \frac{4}{17}

     

    Andando a sostituire nella equazione il valore di k appena trovato avremo:

    \frac{1}{5}(5x^2+5 y^2-36x-18 y+68)=0\iff 5x^2+5y^2-36x-18y+68=0


     

    Data l'equazione canonica

    \Gamma:x^2+y^2+\frac{-8-11k}{1+2k}x+\frac{-6+3k}{1+2k}y+\frac{20}{1+2k}=0

    la formula del raggio ci permette di affermare che:

    r= \sqrt{\left(-\frac{\frac{-8-11k}{1+2k}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\frac{3k-6}{1+2k}}{2}\right)^2-\frac{20}{1+2k}}

    Imponendo l'equazione:

    r=5\implies\sqrt{\left(-\frac{\frac{-8-11k}{1+2k}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\frac{3k-6}{1+2k}}{2}\right)^2-\frac{20}{1+2k}}=5

    Semplificando il più possibile l'equazione arriverai ad avere:

    \frac{-5(8+42 k+27k^2)}{2(1+2k)^2}=0

    Da cui otteniamo l'equazione:

    27 k^2+42k +8=0

    Risolvendo l'equazione di secondo grado avrai due k:

    k_1= -\frac{4}{3}

    con cui otterrai l'equazione:

    x^2+y^2-4x+6y -12=0

    k_2= -\frac{2}{9}

     

    con cui otterrai l'equazione:

    x^2+y^2-10x-12y +36=0

     

    Se hai domande, hai bisogno delle formule sono qui :D

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille! provo a fare altri esercizi se ho problemi ti chiedo aiuto :D

    Risposta di Francesca
  • ciao di nuovo, facendo questo sistema mi trovo numeri stranissimi o.O il problema dice che la retta d'equazione 2x-y-5=0 è tangente alla circonferenza di equazione x^2+y^2-2x-4y e determinare il punto di contatto.  Io ho pensato di metterle a sistema ma come ho già scritto mi trovo numeri impossibili, l'ho svolto con il metodo della sostituzione....

    Risposta di Francesca
  • Vediamo un po'

    Abbiamo il sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-2x-4y=0\\ 2x-y-5=0\end{cases}

    \begin{cases}x^2+y^2-2x-4y=0\\y=2x-5\end{cases}

    Procediamo per sostituzione:

    \begin{cases}x^2+(2x-5)^2-2x-4(2x-5)=0\\y=2x-5\end{cases}

    Svolgendo i conti e sommando i termini simili:

    \begin{cases}5x^2-30x+45=0\\y=2x-5\end{cases}

    Se guardi bene il primo membro della prima equazione avrai un quadrato di binomio:

    \begin{cases}5(x-3)^2=0\\y=2x-5\end{cases}

    Dalla prima equazione avrai come soluzione

    x=3

    sostituendo nella seconda:

    y= 2\cdot 3-5= 1

    Il punto di contatto è quindi:

    (3, 1)

    Se ci sono domande sono sempre qui :D

    Risposta di Ifrit
  • grazie! è sempre facile quando me li spiegate e mi accorgo che faccio errori stupidi! ho un altro problema...non riesco a fare neanche questo sistema x^2+y^2+x-7 e x^2+y^2-2x+3y-4=0 ho fatto con il metodo di riduzione e mi viene 3x+3y-3 ma poi non so più che fare...

    Risposta di Francesca
  • Ti prego di scusarmi per il ritardo:

    \begin{cases}x^2+y^2+x-7=0\\ x^2+y^2-2x+3y-4=0\end{cases}

    Il metodo di riduzione è perfetto! :D

    Sottraendo le equazioni membro a membro abbiamo:

    x+2x-3y-7+4=0

    quindi:

    3x-3y-3=0

    che è l'equazione dell'asse radicale :)

    Cosa ti serve qui? i punti di intersezione?

    Risposta di Ifrit
  • non ti preoccupare...comunque mi chiede di trovare i punti d'intersezione delle circonferenze rappresentate da quelle due equazioni. Grazie (:

    Risposta di Francesca
  • Ok, una volta determinato l'asse radicale, lo sostituisci al posto della seconda equazione ottenendo il sistema equivalente:

    \begin{cases}x^2+y^2+x-7=0\\ 3x-3y-3=0\end{cases}

    A questo punto risolvi il sistema per sostituzione ma prima osserva che:

    3x-3y-3=0\iff 3(x-y-1)=0\iff x-y-1=0

    quindi sostituiamo questa di equazione che ci semplifica i conti :D

    \begin{cases}x^2+y^2+x-7=0\\ x-y-1=0\end{cases}

    Isoliamo x alla seconda equazione

    \begin{cases}x^2+y^2+x-7=0\\ x=y+1\end{cases}

    sostituiamo nella prima equazione:

    \begin{cases}(y+1)^2+y^2+(y+1)-7=0\\ x=y+1\end{cases}

    Svolgendo i conti otterremo il sistema:

    \begin{cases}2y^2+3y-5=0\\ x=y+1\end{cases}

    Risolviamo l'equazione di secondo grado:

    \Delta= 9-4\cdot 2\cdot (-5)= 9+40= 49\implies \sqrt{\Delta}= 7

    Quindi le due soluzioni sono:

    y_1= \frac{-3-7}{4}= -\frac{10}{4}= -\frac{5}{2}

    y_2= \frac{-3+7}{4}= \frac{4}{4}= 1

    Queste sono le ordinate dei punti di intersezione, per determinare le ascisse, sostituiamo i valori ottenuti nella equazione:

    x= y+1

    Avremo:

    x_1= y_1+1= -\frac{5}{2}+1=-\frac{3}{2} 

    x_2= y_2+1= 1+1= 2

    Quindi i punti di intersezione sono:

    A\left(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2} \right)

    B\left(2, 1\right)

    Sempre se non ho commesso errori di conto :P

    Risposta di Ifrit
  • no è perfetto! nessun errore, grazie millee! :D

    Risposta di Francesca
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria