Soluzioni
  • Domanda: Cosa vuol dire che il sistema di vettori S(v1,v2,v3,...,vt) è un sistema di generatori dello spazio vettoriale V?
    Sapendo che S genera V, possiamo dire che allora dim V=t? si, no, dire perchè

    Risposta: Vuol dire che ogni vettore di V si può scirvere come combinazione lineare dei vettori di S. Certo, la dimensione dello spazio vettoriale è uguale al numero di vettori linearmente indipendenti della base ed ogni vettore di S è combinazione lineare dei vettori di V.

    La prima parte è corretta. Non la seconda: se un sistema di vettori è un sistema di generatori e se i suoi vettori sono linearmente indipendenti (ossia è una base dello spazio vettoriale) allora il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio vettoriale.

    Una bas è un sistema di generatori, non è vero il viceversa (non è detto che siano linearmente indipendenti!)

    Esempio:

    (1,0,0)\mbox{ }(0,1,0)\mbox{ }(0,0,1)\mbox{ }(1,1,1)

    è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3

    (1,0,0)\mbox{ }(0,1,0)\mbox{ }(0,0,1)

    è una base di \mathbb{R}^3

     

    Domanda: nello spazio vettoriale V, cosa vuol dire che il sistema di vettori
    S(v1,v2,v3,...,vt) è linearmente indipendente? Sapendo che S è linearmente indipendente e che dimV=t, possiamo dire allora che S è una base di V? si,no, dire perchè.

    Risposta: Vuol dire che i vettori in esso contenuti sono tutti linearmente indipendenti (magari sarebbe il caso di specificare la definizione di vettori linearmente indipendenti). Certo, S è una base di V perchè è un sistema di generatori di V in quanto i vettori sono linearmente indipendenti. (vero!)


    Domanda: Dato un qualsiasi sistema di vettori contenente il vettore nullo, spiegare (si richiede di fornire una breve dimostrazione) perchè esso è sempre linearmente dipendente.

    Risposta: Perchè esistono t scalari non tutti nulli tali che h1v1+h2v2+htvt=0

    Vero!

     

    Domanda: Sia S(v1,v2,v3,...,vt) un sistema di t vettori in uno spazio vettoriale V su R. Se S è linearmente indipendente, è vero che dimVè maggiore o uguale di t? si, no, dire perchè. P.S. spero di aver risposto correttamente a questa domanda, perchè vuol dire che ho capito bene la differenza tra i vari argomenti

    Risposta: Se S è linearmente indipendente allora dimV=>t perchè in V possono esserci tranquillamente altri vettori linearmente indipendenti quindi dimV può essere maggiore di t, ma allo stesso tempo possono anche non esserci, e quelli linearmente indipendenti sono solo quelli del sistema S, quindi dimV=t; ricapitolando dimV è come minimo uguale a t.

    Corretto! La dimensione di una spazio vettoriale è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che puoi prendere nello spazio vettoriale!

    P.S. Se la domanda avesse detto che S è una base o un sistema di generatori allora sarebbe cambiato il gioco in quanto ogni vettore di S si sarebbe potuto scrivere come c.l dei vettori di S, ma in questo caso mi dice che è solo un sistema di t vettori linearmente indipendenti. Giusto?

    Giusto se avesse detto base, occhio a non confondere base e sistema di generatori!


    Domanda: Dimostrare che R=((0,0,1)(1,2,-1)(1,1,0)) è un riferimento di R3 e determinare le componenti in R del vettore u(1,-1,-1).

    Risposta: Per dimostrare che R è un riferimento di R3 devo dimostrare che i vettori sono l.i. Per calcolare le componenti invece metto a matrice (con colonne i vettori del nuovo sistema) del riferimento e faccio il prodotto riga per colonna tra matrice e vettore u.

    Corretto.

    Ricordati che siamo qui.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Ok! Grazie, ho capito tutto! Solo l'ultima domanda che vuol dire con colonne i vettori del nuovo sistema? E' così?

    0 0 1
    1 2 -1
    1 1 0

    tutto moltiplicato per

    1
    -1
    -1

     

    Risposta di namis
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