Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di scomporre due polinomi usando le dovute tecniche di scomposizione: il raccoglimento totale, il raccoglimento parziale, la fattorizzazione mediante prodotti notevoli e infine, ma non meno importante, la regola di Ruffini.

    Per poter scomporre il polinomio

    7x-7y+ax^2-ay^2+bx^2-2bxy+by^2=

    mettiamo in evidenza 7 tra i primi due termini, il fattore comune a nella seconda coppia e b negli ultimi tre termini.

    =7(x-y)+a(x^2-y^2)+b(x^2-2xy+y^2)=

    Il binomio tra parentesi tonde (x^2-y^2) è una differenza di quadrati e in quanto tale si scompone come prodotto tra la somma e la differenza dei monomi x\ \mbox{e} \ y

    =7(x-y)+a(x+y)(x-y)+b(x^2-2xy+y^2)=

    Il trinomio è invece lo sviluppo del quadrato di un binomio, infatti compaiono quadrato di x, il quadrato di y e il loro doppio prodotto, pertanto:

    =7(x-y)+a(x+y)(x-y)+b(x-y)^2=

    I tre addendo condividono il fattore comune (x-y), e se operiamo un raccoglimento totale, ricaviamo

    =(x-y)[7+a(x+y)+b(x-y)]=

    Svolgiamo i prodotti tra i monomi per i relativi polinomi e scriviamo la risultato

    =(x-y)[7+ax+ay+bx-by]

    Ecco fatto!

     

    Determiniamo la scomposizione del polinomio

    1+a^2-4b^2-9c^2-2a+12bc=

    Riordiniamo i termini in modo che siano evidenti le tecniche da utilizzare: non lo nascondiamo, ci vuole un po' di esperienza per capire qual è l'ordine giusto.

    =1-2a+a^2-4b^2+12bc-9c^2=

    Raccogliamo -1 dagli ultimi tre termini

    =1-2a+a^2-(4b^2-12bc+9c^2)=

    Il primo trinomio non è altro che lo sviluppo del quadrato di (a-1): infatti è formato dal quadrato di 1, dal quadrato di a e dal loro doppio prodotto cambiato di segno.

    Il trinomio nelle parentesi tonde è invece il quadrato di (2a-3c), infatti è formato dal quadrato di 2a, da quello di 3c e dal loro doppio prodotto cambiato di segno.

    Siamo quindi autorizzati a rivedere il polinomio nella seguente forma

    =(a-1)^2-(2a-3c)^2=

    Ci siamo ricondotti a una differenza di quadrati, che può essere decomposta grazie alla regola sul prodotto tra somma e differenza di monomi

    =[(a-1)+(2a-3c)][(a-1)-(2a-3c)]=

    Eliminiamo le parentesi attenendoci alla regola dei segni e sommiamo infine i monomi simili

    =[a-1+2a-3c][a-1-2a+3c]

    Esercizio risolto!

    Risposta di Ifrit
 
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