Soluzioni
  • Ciao satiro arrivo :D
    Risposta di Ifrit
  • Certo che sì! :D

    Prendiamo il limite notevole

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}= \frac{1}{2}

    moltiplichiamo per 2 membro a membro:

    2\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=1

    ora 

    2= \frac{1}{\frac{1}{2}}

    quindi il limite si scrive come:

    \frac{1}{\frac{1}{2}}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=1

    poiché 1/(1/2) è una costante moltiplicativa allora possiamo farla entrare nel limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1-\cos(x)}{x^2}=1

    da cui otteniamo:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\frac{x^2}{2}}=1

    cioè 

    1-\cos(x)\sim_0 \frac{x^2}{2}

    Lo stesso ragionamento può essere applicato all'altro limite :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille ma non ho capito perchè hai messo 2=\frac{1}{\frac{1}{2}}...

    Risposta di Satiro
  • Ho solo formalizzato quello che hai detto tu  e per farlo ho dovuto utilizzare questo trucchetto :D

    Risposta di Ifrit
  • Non credo di capire, scusa ma se

    2=frac{1}{frac{1}{2}}

    non dovrebbe essere la stessa cosa che moltiplicare la funzione per 2?

    Risposta di Satiro
  • Esatto, ma a me serviva dimostrare che:

     

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\frac{x^2}{2}}=1\qquad(1.1)

    affinché potessi dire che:

    1-\cos(x)\sim_{0}\frac{x^2}{2}

     

    Per ricondurmi al limite (1.1) ho utilizzato questo trucco :)

    Risposta di Ifrit
  • Mmh in realtà ho capito che stai cercando di far uscire quel limite, però non dovrebbe venire

    \frac{2(1-\cos(x))}{x^2}\ ?

    Se è vero che

    2=\frac{1}{\frac{1}{2}}

    allora non riesco proprio a capire come si riesca a farlo stare giù :\

    Risposta di Satiro
  • ah forse allora stai dicendo che scrivere (2(1-cosx))/x^2 o (1-cosx)/(1/2 x^2) è la stessa cosa? se è così non mi starà mai in mente :(

     

    Risposta di Satiro
  • Sì che è la stessa cosa ;)

    Ma guarda che per risolvere il limite non è necessario conoscere questo trucchetto, mettiamola così:

    Partendo da

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}= \frac{1}{2}

    puoi concludere immediatamente che:

    1-\cos(x)\sim_0 \frac{x^2}{2}

    basta che moltiplichi il risultato del limite con la funzione che c'è al denominatore. Io ho solo fatto i passaggi formali :)

    Risposta di Ifrit
  • Ah ok grazie!! :D

    Risposta di Satiro
 
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