Soluzioni
  • Ciao Fefi arrivo :D
    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione f(x)= x\ln(x) che ha per dominio (0, +\infty)

    Determiniamo la derivata prima utilizzando la regola di derivazione del prodotto:

    f'(x)= D[x]\ln(x)+ x D[\ln(x)]

    Ora ricorda che D[x]=1 mentre D[\ln(x)]= \frac{1}{x}

    sostituiamo:

    f'(x)= \ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}

    semplificando in modo opportuno:

    f'(x)= \ln(x)+1

    Determiniamo gli zeri della derivata prima, saranno i potenziali punti di massimo o di minimo:

    f'(x)=0\iff \ln(x)+1=0

    Da cui:

    \ln(x)=-1\implies x= e^{-1}

    Per capire la natura di questo punto (può essere di massimo o di minimo o addirittura nessuno dei due!) studiamo il segno della derivata prima:

    f'(x)\textgreater 0\iff \ln(x)+1\textgreater 0

    quindi:

    \ln(x)\textgreater -1\implies x\textgreater e^{-1}

    La derivata prima è

    • positiva in (e^{-1}, +\infty), quindi la funzione f cresce in questo intervallo

    • negativa in (0, e^{-1})

    quindi la funzione f decresce in questo intervallo.

    Possiamo concludere che x_0= e^{-1} è un punto di minimo assoluto per la funzione.

    Il minimo vale:

    f(e^{-1})= e^{-1}\ln(e^{-1})= -e^{-1}

    se ci sono domande sono qui ;)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie infinite
    Risposta di Fefi
 
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