Soluzioni
  • In tal caso chiamiamo CH l'altezza relativa alla base AB uscente dal vertice C, e consideriamo il triangolo BCH, che è un triangolo rettangolo.

    Applichiamo le formule della trigonometria relative ai triangoli rettangoli, e chiamiamo

    x:=A\hat{B}C

    Abbiamo che

    CH=BC\sin{(x)}=4\sin{(x)}

    HB=BC\cos{(x)}=4\cos{(x)}

    Il perimetro del trapezio rettangolo è dato da

    2p=AB+BC+CD+AD=AB+BC+(AB-HB)+AD

    ossia

    2p=2+4+(2-4\cos{(x)})+4\sin{(x)}=8+2k

    cioè

    2-4\cos{(x)}+4\sin{(x)}=2+2k

    cioè

    -4\cos{(x)}+4\sin{(x)}=2k

    ed infine

    \sin{(x)}-\cos{(x)}=\frac{k}{2}

    Fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sisi!!fin qua ero arrivata anch io!!è dopo che non so come fare!!sopratutto la discussione!!

    Risposta di Rea
  • Un modo di procedere consiste nell'elevare entrambi i membri al quadrato

    \sin^2{(x)}-2\sin{(x)}\cos{(x)}+\cos^2{(x)}=\frac{k^2}{4}

    per l'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    1-2\sin{(x)}\cos{(x)}=\frac{k^2}{4}

    per la formula di duplicazione del seno

    1-\sin{(2x)}=\frac{k^2}{4}

    da cui

    \sin{(2x)}=1-\frac{k^2}{4}

    L'angolo x deve naturalmente essere compreso tra 0 e \pi/2, per cui ponendo z:=2x 

    \sin{(z)}=1-\frac{k^2}{4}

    l'angolo z deve essere compreso tra 0 e \pi.

    In particolare, disegnando il grafico del seno \sin{(z)} tra 0 e \pi e interpretando y=1-\frac{k^2}{4} come una retta orizzontale l'equazione ammette due soluzioni se e solo se

    0\textless 1-\frac{k^2}{4}\textless 1

    cioè

    -1\textless -\frac{k^2}{4}\textless 0

    cioè, moltiplicando tutti i membri della catena di disuguaglianze per -1 e invertendo l'ordine

    0\textless \frac{k^2}{4}\textless 1

    Moltiplichiamo tutti e tre i membri per 4

    0\textless k^2\textless 4

    La prima disequazione è inutile, perché il quadrato è una quantità non negativa

    k^2\textless 4

    da cui

    -2\textless k \textless +2

    Avendo inizialmente elevato al quadrato, dobbiamo scartare le soluzioni negative

    0 \textless k \textless +2

    Per questi valori di k l'equazione ammette due possibili valori di x, in caso contrario non ammette soluzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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