Problema di Trigonometria con discussione sul trapezio rettangolo

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Buongiorno, vi posto il testo do un esercizio di Trigonometria sul trapezio rettangolo, per il quale devo effettuare la discussione, sperando che mi possiate spiegare come procedere.

 

Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB misura 2cm e il lato obliquo BC=4cm.Determina l angolo alla base ABC sapendo che il perimetro misura 8+2k. Discutere il problema al variare di k in R.

Domanda di Rea

 
Soluzioni

  • In tal caso chiamiamo CH l'altezza relativa alla base AB uscente dal vertice C, e consideriamo il triangolo BCH, che è un triangolo rettangolo.

    Applichiamo le formule della trigonometria relative ai triangoli rettangoli, e chiamiamo

    x: = A hatBC

    Abbiamo che

    CH = BCsin(x) = 4sin(x)

    HB = BCcos(x) = 4cos(x)

    Il perimetro del trapezio rettangolo è dato da

    2p = AB+BC+CD+AD = AB+BC+(AB-HB)+AD

    ossia

    2p = 2+4+(2-4cos(x))+4sin(x) = 8+2k

    cioè

    2-4cos(x)+4sin(x) = 2+2k

    cioè

    -4cos(x)+4sin(x) = 2k

    ed infine

    sin(x)-cos(x) = (k)/(2)

    Fin qui tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • sisi!!fin qua ero arrivata anch io!!è dopo che non so come fare!!sopratutto la discussione!!

    Risposta di Rea

  • Un modo di procedere consiste nell'elevare entrambi i membri al quadrato

    sin^2(x)-2sin(x)cos(x)+cos^2(x) = (k^2)/(4)

    per l'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    1-2sin(x)cos(x) = (k^2)/(4)

    per la formula di duplicazione del seno

    1-sin(2x) = (k^2)/(4)

    da cui

    sin(2x) = 1-(k^2)/(4)

    L'angolo x deve naturalmente essere compreso tra 0 e π/2, per cui ponendo z: = 2x 

    sin(z) = 1-(k^2)/(4)

    l'angolo z deve essere compreso tra 0 e π.

    In particolare, disegnando il grafico del seno sin(z) tra 0 e π e interpretando y = 1-(k^2)/(4) come una retta orizzontale l'equazione ammette due soluzioni se e solo se

    0 < 1-(k^2)/(4) < 1

    cioè

    -1 < -(k^2)/(4) < 0

    cioè, moltiplicando tutti i membri della catena di disuguaglianze per -1 e invertendo l'ordine

    0 < (k^2)/(4) < 1

    Moltiplichiamo tutti e tre i membri per 4

    0 < k^2 < 4

    La prima disequazione è inutile, perché il quadrato è una quantità non negativa

    k^2 < 4

    da cui

    -2 < k < +2

    Avendo inizialmente elevato al quadrato, dobbiamo scartare le soluzioni negative

    0 < k < +2

    Per questi valori di k l'equazione ammette due possibili valori di x, in caso contrario non ammette soluzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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