Soluzioni
  • Per rispondere ai test bisogna conoscere molto bene sia l'intera teoria sui monomi, sia quella relativa ai polinomi.

    Iniziamo dalle domande aperte:

     

    a) In simboli, come si può esprimere il quadrato di un binomio?

    In simboli matematici, il quadrato di un binomio è dato dalla seguente regola:

    (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

     

    b) Qual è la differenza tra monomio nullo e monomio di grado zero?

    Il monomio nullo è esattamente zero e non ha grado associato, sebbene alcuni libri riportano che il grado del monomio nullo è per definizione -∞.

    Il monomio di grado zero è invece un qualsiasi numero non nullo, o se vogliamo, un termine noto o ancora una costante.

     

    Occupiamoci del test vero-falso

     

    Test vero-falso

     

    1) Due polinomi che hanno i coefficienti uguali e uguale grado sono necessariamente uguali.

    Falso. Possiamo considerare come controesempio i polinomio

    2x e 2y

    Entrambi sono polinomi di grado 1, hanno lo stesso coefficiente, però compaiono lettere diverse.

     

    2) Il quoziente fra due polinomi è il polinomio nullo.

    Falso. Il quoziente tra polinomi non è necessariamente il polinomio nullo: basti pensare al quoziente tra i polinomi di due polinomi uguali, che risulta essere pari a 1.

     

    3) La somma di due monomi è sempre un monomio.

    Falso, la somma di due monomi è un monomio se e solo se i monomi addendi sono simili.

     

    4) Il quadrato di un trinomio formato da tre numeri negativi è uguale a un polinomio in cui i termini sono tutti positivi.

    Vero. Per dimostrarlo consideriamo il trinomio -a-b-c, e in accordo con la regola sul quadrato di trinomio scriviamo:

    (-a-b-c)^2 = (-a)^2+(-b)^2+(-c)^2+2(-a)·(-b)+2(-a)·(-c)+2(-b)·(-c) =

    Sviluppando le potenze con basi negative e utilizzando come si deve la regola dei segni, ricaviamo:

    = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

     

    5) Un monomio ha sempre il coefficiente intero.

    Falso. Il coefficiente di un monomio può essere un numero intero, un numero razionale fratto o ancora un numero reale.

     

    6) Un monomio non può avere lettere con esponenti negativi.

    Vero. Gli esponenti delle lettere di un monomio devono essere numeri naturali

     

    7) Qualunque numero è un monomio.

    Vero, in particolare se il numero è nullo, allora si parla più propriamente di monomio nullo; se invece il numero è diverso da zero, allora siamo in presenza di un monomio di grado zero.

     

    8) Il prodotto fra due monomi è sempre un monomio.

    Vero, il prodotto fra due monomi è un monomio avente:

    - per parte numerica il prodotto delle parti numeriche;

    - per parte letterale il prodotto delle parti letterali.

     

    9) Moltiplicando un monomio per una frazione non si ottiene un monomio.

    Falso. Moltiplicando un monomio per una frazione si ottiene un monomio.

     

    10) Il monomio prodotto di più monomi ha come grado la somma dei gradi dei monomi.

    Vero! Segue dalla definizione di prodotto di monomi e da quella di grado complessivo di un monomio.

     

    11) Due monomi simili sono divisibili fra loro.

    Falso, bisogna richiedere che i monomi siano entrambi diversi dal monomio nullo.

     

    12) Due monomi fra loro divisibili sono simili.

    Falso. Il monomio a^3b^2c^6 è divisibile per abc, sebbene non siano simili.

     

    13) Se due monomi sono simili:

    - il grado del primo è maggiore del grado del secondo;

    Falso! Se i monomi sono simili, allora hanno la stessa parte letterale e dunque anche il medesimo grado.

     

    - i loro coefficienti sono numeri interi;

    Falso.

     

    - il coefficiente del primo deve essere divisibile per il coefficiente del secondo;

    Falso! Il monomio 2x è simile a 3x, però 2 non è divisibile per 3.

     

    - il primo deve contenere tutte le lettere del secondo;

    Vero.

     

    14) Il monomio quoziente di due monomi ha come coefficiente la differenza dei coefficienti dei due monomi.

    Falso. Il monomio quoziente di due monomi, il secondo dei quali non nullo, ha per parte numerica il rapporto delle parti numeriche dei due monomi.

     

    15) Il quoziente di due monomi che hanno la stessa parte letterale è un monomio di grado 1.

    Falso. Il quoziente di due monomi simili e non nulli coincide con il rapporto dei coefficienti e ha grado 0.

    Risposta di Ifrit
 
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