Dimostrazione del criterio del rapporto per successioni
Che cosa dice il criterio del rapporto per le successioni? Potreste spiegarmi la dimostrazione del criterio del rapporto per successioni e farmi un esempio di applicazione?
Il criterio del rapporto per le successioni è un teorema che permette di calcolare i limiti di successioni
Ecco l'enunciato:
Consideriamo una sucessione di numeri reali positivi 
.
- Se la successione dei rapporti 
converge ad un limite 
allora è una successione strettamente decrescente definitivamente e converge a zero.
- Se il limite del rapporto
non possiamo dire nulla sul comportamento della successione di partenza.
-Se invece il limite del rapporto:
allora la successione è definitivamente monotona crescente e inoltre diverge positivamente.
Dimostrazione: (dimostreremo il caso più interessante, ovvero 
)
Dalla definizione di limite di successione, fissato un numero reale positivo 
esiste un numero naturale 
tale che
per ogni 
.
Poiché 
possiamo scegliere 
di modo che
.
Poniamo 
, potremo scrivere che:
per ogni .
Osservazione: dalla catena di disuguaglianze abbiamo che
(abbiamo moltiplicato membro a membro per 
, poiché la successione è a termini positivi, non avviene il cambio di verso della disequazione)
In soldoni, stiamo asserendo che la successione 
è definitivamente decrescente.
Per ogni 
si ha che:
Per costruzione, M è minore di uno, e la successione 
tende a zero quando k tende a infinito, quindi:
Passando il limite membro a membro:
Per il teorema del confronto per successioni:
Attenzione: abbiamo determinato il limite di una successione estratta dalla successione .
Ora per ipotesi sappiamo che il limite della successione
esiste finito, e per il teorema di unicità del limite deve coincidere con quello della successione estratta, pertanto:
che è quello che volevamo dimostrare.
Esempio:
Consideriamo la successione il cui termine n-esimo è
Vogliamo determinare il limite:
e per farlo utilizzeremo il criterio del rapporto per successioni:
Prima di tutto, la successione an è a termini positivi, consideriamo quindi il rapporto:
Il limite del rapporto è ovviamente:
allora si ha che:
Suggerimento: il criterio del rapporto per successioni è particolarmente utile quando nella successione compaiono fattoriali e/o esponenziali.