Soluzioni
  • Il criterio del rapporto per successione è un teorema che permette di calcolare i limiti di successioni

    Ecco l'enunciato:

    Consideriamo una sucessione di numeri reali positivi (a_n)_{n\in \mathbb{N}}.

     - Se la successione dei rapporti \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)_{n\in\mathbb{N}} converge ad un limite 0\le\ell\,\textless 1 allora (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è una successione strettamente decrescente definitivamente e converge a zero

    - Se il limite del rapporto

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \ell= 1

    non possiamo dire nulla sul comportamento della successione di partenza.

    -Se invece il limite del rapporto:

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \ell\,\textgreater 1 allora la successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} è definitivamente monotona crescente e inoltre diverge positivamente

    Dimostrazione: (dimostreremo il caso più interessante, ovvero \ell\in [0, 1))

    Dalla definizione di limite di successione, fissato un numero reale positivo \varepsilon\,\textgreater \,0 esiste un numero naturale n_0\in \mathbb{N} tale che

    \frac{a_{n+1}}{a_n}\,\textless\,\ell+\varepsilon per ogni n\ge n_0.

    Poiché \ell\,\textless\, 1 possiamo scegliere \varepsilon di modo che 

    \ell+\varepsilon\,\textless\, 1.

    Poniamo M= \ell + \varepsilon, potremo scrivere che:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}\,\textless M\,\textless 1 per ogni n\ge n_0

    Osservazione: dalla catena di disuguaglianze abbiamo che

    \frac{a_{n+1}}{a_n}\,\textless 1\quad\forall n\ge n_0\implies a_{n+1}\,\textless a_n\quad\forall n\ge n_0

    (abbiamo moltiplicato membro a membro per a_n, poiché la successione è a termini positivi, non avviene il cambio di verso della disequazione)

    In soldoni, stiamo asserendo che la successione (a_{n})_{n\in\mathbb{N}} è definitivamente decrescente. 

    Per ogni k\in\mathbb{N} si ha che:

    0\textless a_{n_0+k+1}\textless M a_{n_0+k}\textless M^2 a_{n_0+k-1}\textless...\textless M^{k+1}a_{n_0}

    Per costruzione, M è minore di uno,  e la successione (M^{k+1})_{k\in\mathbb{N}} tende a zero quando k tende a infinito, quindi:

    0\textless a_{n_0+k+1}\textless M^{k+1}a_{n_0}

    Passando il limite membro a membro:

    0\textless \lim_{k\to \infty}a_{n_0+k+1}\textless\overbrace{ \lim_{k\to \infty}M^{k+1}a_{n_0}}^{=0}

    Per il teorema del confronto per successioni:

    \lim_{k\to \infty}a_{n_0+k+1}= 0

    Attenzione: abbiamo determinato il limite di una successione estratta dalla successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}}.

    Ora per ipotesi sappiamo che il limite della successione

    \lim_{n\to \infty}a_n 

    esiste finito, e per il teorema di unicità del limite deve coincidere con quello della successione estratta, pertanto:

    \lim_{n\to \infty}a_n= 0

    che è quello che volevamo dimostrare.

    Esempio:

    Consideriamo la successione il cui termine n-esimo è

    a_n= \frac{2^n}{n!}

    Vogliamo determinare il limite:

    \lim_{n\to \infty}a_n

    e per farlo utilizzeremo il criterio del rapporto per successioni:

    Prima di tutto, la successione an è a termini positivi, consideriamo quindi il rapporto:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}= \frac{2}{n+1}

    Il limite del rapporto è ovviamente:

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{2}{n+1}= 0

    allora si ha che:

    \lim_{n\to \infty}\frac{2^n}{n!}= 0

     

    Tips: il criterio del rapporto per successioni è particolarmente utile quando nella successione an compaiono fattoriali e/o esponenziali. 

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!

    Risposta di Therru
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