Soluzioni
  • Ciao AaronB arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • \lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}

    Io procedo con Taylor osservando che:

    (1+x)^\frac{1}{x}= e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} 

    Ora 

    \ln(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    di conseguenza:

    \frac{\ln(1+x)}{x}= 1-\frac{x}{2}+o(x)

    Quindi:

    e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}= e^{1-\frac{x}{2}+o(x)}= e\cdot e^{-\frac{x}{2}+o(x)}

     

    Noi sappiamo lo sviluppo di e^t che è:

    e^t=1+t+o(t)

    quindi:

    e^{-\frac{x}{2}+o(x)}= 1-\frac{x}{2}+o(x)

    moltiplicando per e:

    e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}= e\left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)

    sostituiamo nel limite:

    \lim_{x\to 0}\frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}

    \lim_{x\to 0}\frac{e- e\left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)}{x}=

    \lim_{x\to 0}\frac{\frac{ex}{2}+o(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e}{2}=\frac{e}{2}

    Risposta di Ifrit
 
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