Soluzioni
  • Ciao Sunny_giuly, per risolvere l'esercizio è essenziale disegnare le tre rette che definiscono il comportamento della funzione. Disegnarle non è difficile (sono rette!), una volta fatto questo disegna il grafico di una funzione che soddisfi i eguenti requisiti.

    Da sinistra a destra

    - prima della prima retta la funzione va da - infinito  e sale fin sopra l'ordinata 14 nel punto x=-10;

    - sta sempre sopra la prima retta, e si comporta come vuole;

    - dopo il punto x=-4, in cui sta sopra, deve decrescere strettamente fino ad arrivare al di sotto dell'ordinata y=-5 nel punto x=2;

    - sta al di sotto della seconda retta, e si comporta come vuole;

    - dopo il punto x=5 cresce strettamente fino ad arrivare al di sopra dell'ordinata y=6 nel punto x=10;

    - sta al di sopra della terza retta e si comporta come vuole;

    - dopo il punto x=15 in cui sta al di sopra dell'ordinata y=7 decresce strettamente e tende a - infinito.

    Prima considerazione: la funzione è continua su tutto \mathbb{R}, per ipotesi, e non ci sono salti né comportamenti "anomaali."

    Dato che la funzione è strettamente monotona sugli intervalli 

    (-\infty,-10)\mbox{ e }(15,+\infty)

    e dato che all'infinito tende a - infinito, deve necessariamente scendere sia a sinistra del punto x=-10 in cui vale almeno 14 sia a destra del punto x=15 in cui vale almeno 7. Quindi sia a sinistra di x=-10 sia a destra di x=15 taglia una e una sola volta la retta y=2.

    Abbiamo intanto due soluzioni dell'equazione f(x)=2.

    Ora guardiamo l'intervallo

    \left(-5,2\right)

    Nel punto x=-5 la funzione vale almeno 4, mentre nel punto x=2 vale meno di -5. Quindi nell'intervallo considerato la funzione, in quanto monotona strettamente, deve essere in particolare decrescente, e taglia la retta y=2 una e una sola volta (è strettamente monotona!).

    Abbiamo un'altra soluzione dell'equazione f(x)=2.

    Infine, ragionando in modo analogo sull'intervallo

    \left(5,10\right)

    trovi una e una sola intersezione con la retta y=2, cioè una e una sola soluzione dell'equazione f(x)=2.

    In conclusione: l'equazione ha 4 soluzioni!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Gentilissimo e chiarissimo come al solito!

    Grazie mille!

    Risposta di sunny_giuly
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