Disegnare il grafico di una funzione conoscendone caratteristiche generiche
Devo svolgere un esercizio, come compiti per casa, in cui devo disegnare approssimativamente il grafico di una funzione disponendo di alcune informazioni, solo che non ho idea di come fare. Poiché ne ho diversi da fare di questo tipo, vorrei cogliere l'occasione per avere un riferimento di svolgimento, in modo da poterlo applicare anche negli altri.
Sia 
una funzione continua tale che
con 
strettamente monotona nelle altre regioni (cioè per 
, per 
, per 
e per 
). Si sappia inoltre che
Motivando la risposta, dire quante soluzioni ha l'equazione 
. Infine, disegnare approssimativamente il grafico di 
.
Grazie mille in anticipo!
Ciao Sunny_giuly, per risolvere l'esercizio è essenziale disegnare le tre rette che definiscono il comportamento della funzione. Disegnarle non è difficile (sono rette!), una volta fatto questo disegna il grafico di una funzione che soddisfi i eguenti requisiti.
Da sinistra a destra
- prima della prima retta la funzione va da - infinito e sale fin sopra l'ordinata 14 nel punto x=-10;
- sta sempre sopra la prima retta, e si comporta come vuole;
- dopo il punto x=-4, in cui sta sopra, deve decrescere strettamente fino ad arrivare al di sotto dell'ordinata y=-5 nel punto x=2;
- sta al di sotto della seconda retta, e si comporta come vuole;
- dopo il punto x=5 cresce strettamente fino ad arrivare al di sopra dell'ordinata y=6 nel punto x=10;
- sta al di sopra della terza retta e si comporta come vuole;
- dopo il punto x=15 in cui sta al di sopra dell'ordinata y=7 decresce strettamente e tende a - infinito.
Prima considerazione: la funzione è continua su tutto
, per ipotesi, e non ci sono salti né comportamenti "anomaali."Dato che la funzione è strettamente monotona sugli intervalli
e dato che all'infinito tende a - infinito, deve necessariamente scendere sia a sinistra del punto x=-10 in cui vale almeno 14 sia a destra del punto x=15 in cui vale almeno 7. Quindi sia a sinistra di x=-10 sia a destra di x=15 taglia una e una sola volta la retta y=2.
Abbiamo intanto due soluzioni dell'equazione
.Ora guardiamo l'intervallo
Nel punto x=-5 la funzione vale almeno 4, mentre nel punto x=2 vale meno di -5. Quindi nell'intervallo considerato la funzione, in quanto monotona strettamente, deve essere in particolare decrescente, e taglia la retta y=2 una e una sola volta (è strettamente monotona!).
Abbiamo un'altra soluzione dell'equazione
.Infine, ragionando in modo analogo sull'intervallo
trovi una e una sola intersezione con la retta y=2, cioè una e una sola soluzione dell'equazione
.In conclusione: l'equazione ha 4 soluzioni!
Namasté - Agente
Gentilissimo e chiarissimo come al solito!
Grazie mille!
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