Soluzioni
  • Vediamo un po'

    Il limite è:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3x}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}

     

    giusto?

    Risposta di Ifrit
  • Si e sul libro il risultato è 3 se ti può servire

    Risposta di Luke
  • \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}

     

    Ora sappiamo che:

    1-\cos^3(x)= (1-\cos(x))(1+\cos(x)+\cos^2(x))

    perché è una differenza di cubi. Il limite si riscrive come:

    \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))(1+\cos(x)+\cos^2(x))}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}=

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{2\sin^2\frac{x}{2}}\cdot (1+\cos(x)+\cos^2(x))=

     

    Ricordando che il limite del prodotto è il prodotto dei limiti allora:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{2\sin^2\frac{x}{2}}\cdot \lim_{x\to 0}(1+\cos(x)+\cos^2(x))

    Il secondo limite è 3, concentriamoci sul primo:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{2\sin^2\frac{x}{2}}=

    moltiplichiamo e dividiamo per x^2 otterremo :

     

    \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))\cdot x^2}{x^2\cdot 2\sin^2\frac{x}{2}}=

    spezziamo il limite come prodotto di limiti:

    \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(x))}{x^2}\frac{x^2}{ 2\sin^2\frac{x}{2}}=

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2 \sin^2\frac{x}{2}}

     

    Ora il primo limite è il limite notevole del coseno:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}= \frac{1}{2}

    mentre

    \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2\sin^2\frac{x}{2}}

    è quasi il limite del seno. Moltiplichiamo e dividiamo per 2:

    \lim_{x\to 0}\frac{2\cdot x^2}{2\cdot 2\sin^2\frac{x}{2}}=

    2\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{4\sin^2\frac{x}{2}}= 2\cdot 1=2

     

    questo perché:

    \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{4\sin^2\frac{x}{2}}

    è il reciproco del limite notevole de seno.

    Ricomponendo i pezzi abbiamo che:

    \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}= 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3= 3

    Se ci sono domande sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!

    Risposta di Luke
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi