Diagonali di un rombo perpendicolari con i numeri complessi

Ciao, potreste aiutarmi a capire come si fa a dimostrare che le diagonali di un rombo sono perpendicolari fra di loro usando i numeri complessi? Penso di debbano usare dei vettori e vedere l'angolo che c'è fra di loro, però non ne sono sicuro.

 

Grazie mille per l'aiuto 

In Uni - Analisi - Domanda di matteo

Soluzioni

  • Personalmente farei così: fissiamo un riferimento di due assi x,iy nel piano di Argand Gauss, e consideriamo un rombo con un lato disposto sull'asse immaginario e uno dei suoi estremi collocato nell'origine..

    Chiamiamo i vertici, in senso antiorario, partendo da A=O=(0,0): A,B,C,D.

    Il vertice B ha coordinate

    (\rho\cos{(\theta)},\rho\sin{(\theta)})

    dove \rho è la misura del lato del rombo, mentre \theta è l'angolo che il lato AB forma con l'asse reale. Il vertice si identifica quindi con il numero complesso

    z=\rho\cos{(\theta)}+i\rho\sin{(\theta)}

    il vertice D ha coordinate

    (0,\rho)

    quindi si individua con il numero

    w=i\rho

    il vertice C si individua per somma

    t=z+w=\rho\cos{(\theta)}+i\rho(1+\sin{(\theta)})

    e tale vettore individua tra l'altro la diagonale AC del rombo

    C-A=t

    Per individuare il vettore della diagonale DB calcoliamo

    p=B-D=\rho\cos{(\theta)}+i\rho(\sin{(\theta)}-1)

    Il prodotto scalare tra i vettori t,p è nullo, dunque tali vettori sono ortogonali.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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