Diagonali di un rombo perpendicolari con i numeri complessi

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Ciao, potreste aiutarmi a capire come si fa a dimostrare che le diagonali di un rombo sono perpendicolari fra di loro usando i numeri complessi? Penso di debbano usare dei vettori e vedere l'angolo che c'è fra di loro, però non ne sono sicuro.

 

Grazie mille per l'aiuto 

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Personalmente farei così: fissiamo un riferimento di due assi x,iy nel piano di Argand Gauss, e consideriamo un rombo con un lato disposto sull'asse immaginario e uno dei suoi estremi collocato nell'origine..

    Chiamiamo i vertici, in senso antiorario, partendo da A = O = (0,0): A,B,C,D.

    Il vertice B ha coordinate

    (ρcos(θ),ρsin(θ))

    dove ρ è la misura del lato del rombo, mentre θ è l'angolo che il lato AB forma con l'asse reale. Il vertice si identifica quindi con il numero complesso

    z = ρcos(θ)+iρsin(θ)

    il vertice D ha coordinate

    (0,ρ)

    quindi si individua con il numero

    w = iρ

    il vertice C si individua per somma

    t = z+w = ρcos(θ)+iρ(1+sin(θ))

    e tale vettore individua tra l'altro la diagonale AC del rombo

    C-A = t

    Per individuare il vettore della diagonale DB calcoliamo

    p = B-D = ρcos(θ)+iρ(sin(θ)-1)

    Il prodotto scalare tra i vettori t,p è nullo, dunque tali vettori sono ortogonali.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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