Soluzioni
  • Per semplificare l'espressione complessa

    z=\cos(\ln(x) i)

    è sufficiente rifarsi alla definizione di coseno complesso.

    Per ogni w\in\mathbb{C}, si definisce coseno complesso di w il numero complesso

    \cos(w)=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}

    In forza della definizione possiamo scrivere che per ogni numero reale positivo x valgono le seguenti uguaglianze

    \\ \cos(\ln(x)i)=\frac{e^{i(\ln(x) i)}+e^{-i (\ln(x) i)}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{e^{i^2\ln(x)}+e^{-i^2\ln(x)}}{2}=

    Poiché il quadrato dell'unità immaginaria è uguale a -1, pertanto l'espressione diventa

    =\frac{e^{-\ln(x)}+e^{\ln(x)}}{2}

    Osserviamo la definizione di potenza con esponente negativo e la definizione di logaritmo garantiscono le seguenti identità

    \\ \bullet \ \ \ e^{-\ln(x)}=\frac{1}{e^{\ln(x)}}=\frac{1}{x} \ \ \ \forall x>0\\ \\ \\ \bullet \ \ \ e^{\ln(x)}=x

    grazie alle quali l'espressione

    \frac{e^{-\ln(x)}+e^{\ln(x)}}{2}=

    diventa

    =\frac{\frac{1}{x}+x}{2}=\frac{1+x^2}{2x} \ \ \ \forall x>0

    Riassumendo, abbiamo dimostrato che vale l'identità

    \cos(\ln(x) i)=\frac{1+x^2}{2x} \ \ \ \forall x>0

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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