Integrale doppio in polari e calcolo del volume del solido compreso tra le superfici

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ciao ragazzi!

ho questo esercizio in un compito d'esame che proprio non riesco a risolvere:

calcolare il volume del solido compreso fra le superfici:

z-1=x^2+y^2

4x+4y+z=9  

faccio il sistema tra i due e poi cerco di passare in coordinate polari (passaggio che non so se è giusto) ed è qui che mi fermo... non capisco come andare avanti!

Domanda di francescaV

 
Soluzioni

  • Ciao FrancescaV,

    innanzitutto il sistema ci fornisce

    x^2+y^2+4x+4y-8=0

    dobbiamo completare entrambi i quadrati. come abbiamo detto qui (infatti sia in x che in y compaiono i termini di grado uno)

    x^2+4x+4+y^2+4y+4-4-4-8=0

    vale a dire

    (x+2)^2+(y+2)^2-16=0

    vale a dire una circonferenza di centro (-2,-2) e raggio 4.

    Ora sì che devi passare alle coordinate polari, ponendo

    x+2=\rho\cos{(\theta)}

    y+2=\rho\sin{(\theta)}

    e quindi ottieni

    \rho^2\cos^{2}{(\theta)}+\rho^{2}\sin^2{(\theta)}-16

    e non dimenticare di sostituire anche

    dxdx\rightarrow \rho d\rho d\theta.

    Gli estremi di integrazione, naturalmente, saranno

    [0,4]\mbox{ per }\rho

    e

    [0,2\pi]\mbox{ per }\theta.

     

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega

  • eccolo dov'era il mio errore... io invece di scrivere -8 e aggiungere +4 -4 dividevo in due il -8 (le mie solite regole inventate :\ )... e infatti poi il quadrato non tornava!! :( 

    grazie ragazzi!! 

    Risposta di francescaV
 
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