Problema di Cauchy con equazione lineare del primo ordine

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Ciao ragazzi, ho qualche problema con questo problema di Cauchy definito da un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Qualcuno può aiutarmi?

 

y'+(4x)/(x^(2)+1)y = x ; y(0) = (1)/(6)

 

Io l'ho ragionata come una equazione differenziale lineare del primo ordine, e ho trovato come soluzione del problema di Cauchy:

 

(1)/(6)(x^(2)+1)

 

la soluzione è corretta secondo voi? Grazie a tutti.

Domanda di Fuivito

 
Soluzioni

  • Hai seguito la formula standard per il calcolo delle soluzioni?

    y(x) = y_0e^(A(x_0)-A(x))+e^(-A(x))∫_(x_0)^(x)f(t)e^(A(t))dt

    dove si intende l'equazione differenziale scritta nella forma

    y'(x)+a(x)y(x) = f(x)

    e A(x) è una primitiva di a(x) ?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Sono proprio un po' impedito con LaTex. prima dell'uguale ci va un "y".

    E quell'esponente 2 che ho messu sull'1, in realtà va su tutto il binomio!Cool

    Risposta di Fuivito

  • Ok, torna tutto: applicando la formula per equazioni differenziali lineari del primo ordine

    A(x) = 2log(x^2+1) = log([(x^2+1)^2])

    per cui

    y(x) = (1)/(6)e^(-log([(x^2+1)^2]))+e^(-log([(x^2+1)^2]))∫_(0)^(x)te^(log([(t^2+1)^2])dt)

    ossia

    y(x) = (1)/(6(x^2+1)^2)+(1)/((x^2+1)^2)∫_(0)^(x)t(t^2+1)^2dt

    y(x) = (1)/(6(x^2+1)^2)+(1)/((x^2+1)^2)∫_(0)^(x)(t^5+2t^3+1)dt

    Per integrazione

    y(x) = (1)/(6(x^2+1)^2)+(1)/((x^2+1)^2)[(1)/(6)x^6+(2)/(4)x^4+(1)/(2)x^2]

    y(x) = (1)/(6(x^2+1)^2)+(1)/((x^2+1)^2)[(x^6+3x^4+3x^2)/(6)]

    ossia

    y(x) = (x^6+3x^4+3x^2+1)/(6(x^2+1)^2) = ((x^2+1)^3)/(6(x^2+1)^2)

    ossia

    y(x) = (1)/(6)(x^2+1)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grandioso, grazie mille! :)

    Risposta di Fuivito
 
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