Integrale definito con valore assoluto

Question

Il mio problema riguarda un integrale definito con un valore assoluto e arcotangente: ∫_(-(1)/(2))^((1)/(2))t^(2)arctan(|2t|)dt Come procedimento dovrei calcolare l'integrale indefinito e poi eseguire la classica sostituzione. Io procedo con la divisione in due integrali, eliminando il valore assoluto in questo modo: ∫_(-(1)/(2))^(0)t^2arctan(-2t)dt+∫_(0)^((1)/(2))t^2arctan(2t)dt ma così facendo si annulla tutto. Credo ci sia un errore nell'interpretare il valore assoluto, sbaglio?

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il metodo che hai scelto per risolvere l'integrale è corretto, così come è corretta l'interpretazione del valore assoluto, probabilmente hai commesso un errore nel calcolo nel primo integrale, infatti l'integrale non può essere nullo. Per risolvere l'integrale definito in modo furbo osserviamo che l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto allo 0 : [-(1)/(2),(1)/(2)] si presenta nella forma [-a,a] con a > 0 e questo assicura che vi è simmetria centrale, con centro di simmetria 0. Aggiungiamoci pure che l'integranda è una funzione pari, infatti detta f(t) = t^2arctan(|2t|) si ha che f(-t) = (-t)^2arctan(|-2t|) = t^2arctan(|2t|) = f(t) Nota: in generale la funzione arcotangente non è pari, è il valore assoluto a renderla tale in questo caso particolare. Grazie ad una nota proprietà sugli integrali di funzioni pari su intervallo simmetrico derivante dall'interpretazione geometrica di integrale, possiamo scrivere ∫_(-(1)/(2))^((1)/(2))t^2arctan(|2t|)dt = 2∫_(0)^((1)/(2))t^2arctan(|2t|)dt = (•) Cosa è successo? Il dominio di integrazione è stato dimezzato, siamo infatti passati da [-(1)/(2),(1)/(2)] all'intervallo [0, (1)/(2)], e allo stesso tempo davanti all'integrale è comparso il coefficiente moltiplicativo 2. Vi è un grosso vantaggio nell'uso di questa proprietà: nel secondo integrale la variabile t varia nell'intervallo [0, (1)/(2)], pertanto è certamente non negativa, conseguentemente |2t| = 2t per t∈[0, (1)/(2)] e dunque possiamo scrivere l'integrale come: (•) = 2∫_(0)^((1)/(2))t^2arctan(2t)dt = (• •) Il metodo di integrazione per parti è perfetto per raggiungere lo scopo: scegliamo come fattore finito, facile da derivare f(t) = arctan(2t) ⇒ f'(t) = (2)/(1+4t^2) e come fattore differenziale, facile da integrare g'(t) = t^2 ⇒ g(t) = (t^3)/(3) Grazie alla formula di integrazione per parti abbiamo ; (• •) = 2([(t^3)/(3)arctan(2t)]_(0)^((1)/(2))-∫_(0)^((1)/(2))(t^3)/(3)·(2)/(1+4t^2)dt) = 2((π)/(96)-0-∫_(0)^((1)/(2))(2t^3)/(3(1+4t^2))dt) = 2((π)/(96)-∫_(0)^((1)/(2))(2t^3)/(3(1+4t^2))dt) Risolviamo a parte l'integrale rimasto che per comodità chiamiamo I ; I = ∫_(0)^((1)/(2))(2t^3)/(3(1+4t^2))dt = (2)/(3)∫_(0)^((1)/(2))(t^3)/(1+4t^2)dt Esso è un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore. Il metodo standard consiste nell'effettuare la divisione tra polinomi tra N(t) = t^3 e D(t) = 1+4t^2 così da determinare il polinomio quoziente Q(t) e il polinomio resto R(t) Q(t) = (t)/(4) e R(t) = -(t)/(4) dunque I diventa ; I = (2)/(3)∫_(0)^((1)/(2))(Q(t)+(R(t))/(D(t)))dt = (2)/(3)∫_(0)^((1)/(2))((t)/(4)-(t)/(4(1+4t^2)))dt = Per le proprietà degli integrali definiti possiamo spezzare l'integrale della somma come somma di integrali, in più possiamo portare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative = (2)/(3)((1)/(4)∫_(0)^((1)/(2))t dt-(1)/(4)∫_(0)^((1)/(2))(t)/(1+4t^2)dt) = Il primo è l'integrale di una potenza, mentre il secondo può essere ricondotto ad un integrale notevole in forma generale che ha per risultato un logaritmo a meno di costanti additive. È sufficiente moltiplicare e dividere per 8 così facendo la derivata del denominatore coincide con il numeratore. ; = (2)/(3)((1)/(4)∫_(0)^((1)/(2))t dt-(1)/(4)·(1)/(8)∫_(0)^((1)/(2))(8t)/(1+4t^2)dt) = (2)/(3)((1)/(4)[(t^2)/(2)]_(0)^((1)/(2))-(1)/(32)[ln(|1+4t^2|)]_(0)^((1)/(2))) = (2)/(3)((1)/(4)[(1)/(8)-0]-(1)/(32)[ln(|1+4·((1)/(2))^2|)-ln(1)]) = Ora con un po' di pazienza effettuiamo i calcoli = (2)/(3)((1)/(32)-(1)/(32)ln(2)) = (1)/(48)-(ln(2))/(48) Abbiamo a disposizione tutti gli elementi per determinare l'integrale definito dato dalla traccia ; ∫_(-(1)/(2))^((1)/(2))t^2arctan(|2t|)dt = 2((π)/(96)-I) = (π)/(48)-(1)/(24)+(1)/(24)ln(2) Abbiamo terminato l'esercizio. Un consiglio: quando hai integrali in cui gli estremi sono finiti e uno l'opposto dell'altro controlla la parità e la disparità della funzione integragranda, così da poter sfruttare le proprietà degli integrali che riguardano le funzioni pari e quelle dispari.