Determinare la retta tangente a una funzione

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Come si risolve questo esercizio sulla retta tangente al grafico di una funzione? La traccia chiede di determinare la retta tangente al grafico della funzione

 

y = x^2+5

 

nel punto x_0 = -3.

 

Grazie in anticipo.

Domanda di Giuseppe

 
Soluzioni

  • Vediamo come risolvere l'esercizio. Abbiamo la funzione:

    f(x) = x^2+5

    Dobbiamo determinare la retta tangente al grafico nel punto di ascissa x_0 = -3.

    Per farlo dobbiamo calcolare il coefficiente angolare della retta definito come il limite del rapporto incrementale:

    m = lim_(h → 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)

    Calcoliamo le valutazioni della funzione in x_0+h

    f(x_0+h) = f(-3+h) = (h-3)^2+5

    e in x_0

    f(x_0) = f(-3) = (-3)^2+5

    Calcoliamo la differenza tra i due termini

    f(x_0+h)-f(x_0) = f(-3+h)-f(-3) = (h-3)^2+5-(-3)^2-5 = (h-3)^2-9 =

    e sviluppiamo il quadrato del binomio:

    = h^2-6h+9-9 = h^2-6 h

    A questo punto il limite si riscrive nel modo seguente

    m = lim_(h → 0)(h^2-6h)/(h)

    Mettiamo in evidenza h al numeratore:

    lim_(h → 0)(h(h-6))/(h) = lim_(h → 0) h-6 = -6

    Abbiamo il coefficiente angolare della retta tangente. La sua equazione sarà:

    y = m(x-x_0)+f(x_0) ; y = -6(x-(-3))+14 ; y = -6x-18+14 ; y = -6x-4

    Per quanto riguarda il grafico, eccolo qui: in blu la funzione, in rosso la retta.

     

    Esercizio retta tangente al grafico di una funzione in un punto

     

    PS: a questo link trovi quello che ti serve per i limiti. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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