Soluzioni
  • A seconda del contesto esistono varie definizioni di retta isotropa, tra loro equivalenti. Quella che ricorre più frequentemente nei testi di Algebra Lineare è la seguente...

    Nel piano complessificato, in cui è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y), prende il nome di retta isotropa ogni retta perpendicolare a se stessa.

    r \mbox{ retta isotropa} \iff r \perp r

    Equazione della retta isotropa

    Per ricavare l'equazione di una retta isotropa consideriamo un qualsiasi punto P(x_P,y_P) del piano complessificato, scriviamo la generica equazione della retta passante per il punto P

    y-y_P=m(x-x_P)

    e chiediamoci quando una retta per P è perpendicolare a se stessa.

    In generale, due rette del piano sono perpendicolari se e solo se il prodotto tra i rispettivi coefficienti angolari è -1, dunque una retta di equazione

    y-y_P=m(x-x_P)

    è perpendicolare a se stessa se e solo se

    m \cdot m = -1

    ossia, se e solo se

    m^2+1=0

    Ovviamente non esistono valori reali di m che soddisfano la precedente equazione, ma in campo complesso la suddetta equazione ammette due soluzioni complesse coniugate

    m=\pm \imath

    dove \imath è l'unità immaginaria.

    Sostituendo tali valori nell'equazione della generica retta per P si deduce che da ogni punto P passano due rette immaginarie perpendicolari a se stesse, ossia due rette isotrope, di equazioni

    y-y_P=\pm \imath (x-x_P)

    Esempio: rette isotrope passanti per un punto

    Le equazioni delle rette isotrope passanti per il punto P(\imath, -1) sono

    \\ y-(-1)=\pm \imath (x-\imath) \\ \\ y+1=\pm \imath (x-\imath)

    da cui

    \\ r_1: y+1=\imath(x-\imath) \\ \\ r_2: y+1=-\imath(x-\imath)

    Svolgendo i prodotti a secondo membro e sommando i termini simili possiamo scriverle nella forma

    \\ r_1: \imath x - y = 0 \\ \\ r_2: \imath x+y+2=0

    Rette isotrope come rette a lunghezza nulla

    Le rette isotrope vengono denominate rette di lunghezza nulla in virtù del teorema secondo cui due punti propri di una retta isotropa hanno tra loro distanza nulla.

    Eccone la dimostrazione: sia

    r:\ y-y_P=\imath (x-x_P)

    l'equazione di una delle rette isotrope passanti per un punto P(x_P,y_P) del piano complessificato e siano

    A(x_A,y_A)\ \ \ ;\ \ \ B(x_B,y_B)

    due punti distinti di r.

    Dobbiamo dimostrare che la distanza tra i punti A e B è nulla.

    Dal momento che sia A che B sono punti di r, le rispettive coordinate cartesiane ne soddisfano l'equazione, dunque valgono le relazioni

    \\ y_A-y_P=\imath (x_A-x_P) \\ \\ y_B-y_P=\imath (x_B-x_P)

    Sottraendo membro a membro otteniamo la seguente uguaglianza

    y_B-y_A=\imath (x_B-x_A) \ (*)

    La distanza tra due punti del piano è data da

    d(A,B)=\sqrt{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}

    Sfruttando l'uguaglianza (*) possiamo scrivere

    \\ d(A,B)=\sqrt{(y_B-y_A)^2+(x_B-x_A)^2}= \\ \\ = \sqrt{[\imath (x_B-x_A)]^2 + (x_B-x_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{\imath^2(x_B-x_A)^2+(x_B-x_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{-(x_B-x_A)^2+(x_B-x_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{0} = 0

    Abbiamo così dimostrato che la distanza tra due qualsiasi punti della retta isotropa è nulla:

    A,B\in r: y-y_P=\imath (x-x_P)\ \Rightarrow\ d(A,B)=0

    Procedendo in modo analogo si arriva alla medesima conclusione anche per l'altra retta isotropa

    A,B\in r: y-y_P=-\imath (x-x_P)\ \Rightarrow\ d(A,B)=0

    Rette isotrope e punti ciclici

    Scriviamo, separatamente, le equazioni in forma implicita delle due rette isotrope passanti per il punto P(x_P,y_P):

    \\ y-y_P= \imath (x-x_P) \ \to \ \imath x - y + y_P + \imath x_P=0 \\ \\ y-y_P= -\imath (x-x_P) \ \to \ \imath x + y - y_P - \imath x_P=0

    e passiamo in coordinate omogenee ponendo

    x=\frac{x_1}{x_3}, \ \ \ y=\frac{x_2}{x_3}, \ \mbox{ con } x_3 \neq 0

    Ne scaturiscono le equazioni

    \imath x_1 - x_2 + (y_P+\imath x_P)x_3=0 \\ \\ \imath x_1 + x_2 - (y_P+\imath x_P)x_3=0

    È immediato osservare che la retta isotropa

    \imath x_1 - x_2 + (y_P+\imath x_P)x_3=0

    passa per il punto improprio (1, \imath, 0), mentre la retta

    \imath x_1 + x_2 - (y_P+\imath x_P)x_3=0

    passa per il punto improprio (1, -\imath, 0).

    I due punti impropri, tra loro complessi coniugati, di coordinate (1, \pm \imath, 0) si dicono punti ciclici, e in virtù del legame tra direzione di una retta e punti impropri possiamo affermare che i punti ciclici esprimono le direzioni delle rette isotrope.

    Risposta di Ifrit
 
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