Calcolo della tangente al grafico di una funzione

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Salve, mi aiutate a risolvere questo esercizio sul calcolo della retta tangente al grafico di una funzione?

 

La funzione è y=x^5+5, devo calcolare la retta tangente nel punto di ascissa x0=-3

 

So che dovrei fare la derivata della funzione nel punto x0 per trovare il coefficente angolare, e subito dopo usare la formula della retta tangente per trovarla...L'unico problema è che non so impostare il limite per trovare il coefficente angolare. Se è possibile vorrei anche un grafico. Vi ringrazio in anticipo!

Domanda di Giuseppe

 
Soluzioni

  • Ciao Giuseppe arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Non devi impostare il limite. Se hai una funzione derivabile nel punto x_0∈ dom(f)  allora devi utilizzare la formula:

    y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

     

    Nel nostro caso la derivata prima della funzione è:

    f'(x) = 5x^4

    Valutiamo la derivata nel punto x_0 = -3

    f'(-3) = 5(-3)^4 = 405

    mentre:

    f(x_0) = f(-3) = (-3)^5+5 = -238

     

    L'equazione della retta tangente è pertanto:

    y = 405(x-(-3))+(-240) ⇒ y = 405x+1215-238 ⇒

    y = 405x+977

     

    Se hai domande sono qui :D

    Risposta di Ifrit

  • Ti rigrazio per la disponibilità ma a scuola ancora non sono arrivato a questo punto me lo fanno fare prima con un limite e poi con la formula della retta 

    Risposta di Giuseppe

  • Fammi capire, per calcolare il coefficiente angolare fate il limite del rapporto incrementale? Calcolate cioè il limite:

     

    m = lim_(h → 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)

     

    Giusto? Fammi sapere ;)

    Risposta di Ifrit

  • Sì scusa se non te l'ho detto da subito ;)

    Risposta di Giuseppe

  • Ma scusami però non è f(x0+h) nel limite?

    Risposta di Giuseppe

  • Ma scusami però non è f(x0+h) la parentesi elevata alla seconda nel limite?

    Risposta di Giuseppe

  • Ok, nessun problema:

    m = lim_(h → 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)

     

    ora:

    f(x_0+h) = f(-3+h) = 5+(-3+h)^5

    f(x_0) = f(-3) = -238

     

    A questo punto il limite si riscrive come:

    m = lim_(h → 0)(5+(-3+h)^5-(-238))/(h) =

    lim_(h → 0)((h-3)^5+243)/(h)

     

    Sviluppiamo la potenza di binomio con l'ausilio di Tartaglia:

    (h-3)^5 = h^5-14 h^4+90 h^3-270 h^2+405 h-243

    quindi:

    lim_(h → 0)((h-3)^5+243)/(h)

    diventa:

    lim_(h → 0)(h^5-14 h^4+90 h^3-270 h^2+405 h-243+243)/(h)

     

    sommando i termini simili:

    lim_(h → 0)(h^5-14 h^4+90 h^3-270 h^2+405 h)/(h)

     

    mettendo in evidenza h al numeratore abbiamo:

    lim_(h → 0)(h(h^4-14 h^3+90 h^2-270 h+405))/(h)

    semplificando con il denominatore:

    lim_(h → 0)h^4-14 h^3+90 h^2-270 h+405 = 405

     

    il coefficiente angolare è m= 405

    Utilizzando la formula 

    y = m(x-x_0)+f(x_0)

    otteniamo:

    y = 405(x+3)-238

    Da cui

    y = 405x+977

    Risposta di Ifrit

  • Deve tornare y=-6x-4, e poi scusami tu usi dei sistemi che io ignoro, tartaglia non ho idea di cosa sia...

    Risposta di Giuseppe

  • Ho sviluppato semplicemente la potenza di binomio:

    (h-3)^5

    Utilizzando il triangolo di Tartaglia, o triangolo di Pascal

     

    puoi trovare la spiegazione qui

    https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/271-binomio-di-newton.html 

    Strano che non lo conosci :/

    Il risultato non mi torna, è possibile che tu abbia commesso un errore nella traccia? :s

    Risposta di Ifrit

  • Scusami di nuovo è vero ho sbagliato io, infatti non capivo come mai i numeri erano così grandi, è y=x^2+5 x0=-3

    Risposta di Giuseppe

  • Ok, facciamo così, visto che l'esercizio è corretto, accetta questa risposta, aprine un'altra con la traccia corretta, risolviamo subito :D

    Risposta di Ifrit
 
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