Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=x\ln(x)-x

    e calcoliamone il dominio pretendendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0:

    x>0

    Il dominio della funzione è pertanto l'intervallo:

    Dom(f)=(0,+\infty)

    Calcoliamo il limite all'estremo finito del dominio per controllare l'esistenza dell'asintoto verticale:

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}(x\ln(x)-x)=

    Esprimiamo il limite della differenza con la differenza di limiti

    =\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)-\lim_{x\to0^{+}}x=

    Il secondo limite è certamente 0, mentre il primo genera una forma indeterminata [0\cdot(-\infty)]

    =\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)=

    Per risolverla, possiamo esprimere il prodotto x\ln(x) come quoziente tra il logaritmo e il reciproco di x

    =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}=^{H}

    Attenzione, non abbiamo effettivamente risolto la forma di indecisione, ma ci siamo messi nella condizione di poter utilizzare il teorema di de l'Hopital. Deriviamo separatamente numeratore e denominatore

    =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\cdot(-x^2)=\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0

    In definitiva il limite

    \lim_{x\to0^{+}}(x\ln(x)-x)=0

    e poiché il risultato è 0 allora possiamo concludere che la funzione non ammette alcun asintoto verticale.

    Risposta di Ifrit
 
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