Calcolo asintoto verticale in un punto

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Devo determinare sia il dominio che gli eventuali asintoti verticali di una funzione con un termine logaritmico.

 

Calcolare il dominio e gli eventuali asintoti verticali della funzione

 

f(x) = xln(x)-x

 

Potreste aiutarmi? Grazie.

Domanda di Fefi

 
Soluzioni

  • Consideriamo la funzione

    f(x) = xln(x)-x

    e calcoliamone il dominio pretendendo che l'argomento del logaritmo sia maggiore di 0:

    x > 0

    Il dominio della funzione è pertanto l'intervallo:

    Dom(f) = (0,+∞)

    Calcoliamo il limite all'estremo finito del dominio per controllare l'esistenza dell'asintoto verticale:

    lim_(x → 0^(+))f(x) = lim_(x → 0^(+))(xln(x)-x) =

    Esprimiamo il limite della differenza con la differenza di limiti

    = lim_(x → 0^(+))xln(x)-lim_(x → 0^(+))x =

    Il secondo limite è certamente 0, mentre il primo genera una forma indeterminata [0·(-∞)]

    = lim_(x → 0^(+))xln(x) =

    Per risolverla, possiamo esprimere il prodotto xln(x) come quoziente tra il logaritmo e il reciproco di x

    = lim_(x → 0^(+))(ln(x))/((1)/(x)) = ^(H)

    Attenzione, non abbiamo effettivamente risolto la forma di indecisione, ma ci siamo messi nella condizione di poter utilizzare il teorema di de l'Hopital. Deriviamo separatamente numeratore e denominatore

    = lim_(x → 0^(+))((1)/(x))/(-(1)/(x^2)) = lim_(x → 0^(+))(1)/(x)·(-x^2) = lim_(x → 0^(+))(-x) = 0

    In definitiva il limite

    lim_(x → 0^(+))(xln(x)-x) = 0

    e poiché il risultato è 0 allora possiamo concludere che la funzione non ammette alcun asintoto verticale.

    Risposta di Ifrit
 
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