Soluzioni
  • Per verificare il limite proposto utilizzeremo la definizione di limite infinito per x che tende a un valore infinito. Più precisamente il limite

    \lim_{x\to +\infty}\ln(x-1)=+\infty

    è verificato se e solo se per ogni numero reale positivo M riusciamo a determinare un numero reale positivo N tale che se x soddisfa la condizione x>N allora \ln(x-1)>M.

    Iniziamo dalla disequazione logaritmica

    \ln(x-1)>M

    e risolviamola applicando ad ambo i membri la funzione esponenziale

    x-1>e^{M}

    Infine isoliamo l'incognita trasportando -1 al secondo membro

    x>e^{M}+1

    L'insieme soluzione definisce un intorno di più infinito i cui punti soddisfano la disequazione logaritmica iniziale. L'esercizio si conclude ponendo N=e^{M}+1, in questo modo evidenziamo che indipendentemente dal valore positivo assunto da M esiste N che realizza la definizione di limite.

    Risposta di Ifrit
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