Esercizio sugli asintoti obliqui

Ho difficoltà con un esercizio in cui devo determinare gli asintoti obliqui di una funzione logaritmica che ha per argomento una funzione esponenziale.

$f(x)=\ln(e^{x}-1)$

Come procedo? Grazie.

In Uni - Analisi - Domanda di Fefi

Soluzioni

Consideriamo la funzione

$f(x)=\ln(e^{x}-1)$

e calcoliamone il dominio richiedendo che l'argomento della funzione logaritmica sia maggiore di 0. Impostiamo e risolviamo la disequazione esponenziale

$e^{x}-1>0\implies e^{x}>1\implies x>0$

il cui insieme soluzione coincide con il dominio di , pertanto

$Dom(f)=(0,+\infty)$

Per controllare l'esistenza dell'asintoto obliquo, prendiamo in esame il limite

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln(e^{x}-1)=+\infty$

Poiché il risultato è $+\infty$ vi è la possibilità che la funzione ammetta un asintoto obliquo di equazione

dove $m \ \mbox{e} \ q$ rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine dell'asintoto, definiti mediante i due limiti

$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \ \ \ \mbox{e}\ \ \ q=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-mx]$

Sottolineiamo che affinché si presenti un asintoto obliquo, deve essere finito e non nullo, mentre può assumere qualsiasi valore finito.

Impostiamo il limite che definisce

$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^{x}-1)}{x}=$

Esso si presenta nella forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ che possiamo sciogliere trascurando la costante additiva all'interno dell'argomento del logaritmo

$=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^{x})}{x}=$

e utilizzando la definizione di logaritmo, la quale ci permette di esprimere il limite nella forma

$=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=1$

In definitiva . Siamo autorizzati a costruire e calcolare il limite che definisce

$q=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-x]=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-x]=(\bullet)$

In accordo con la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica, sussiste l'identità

$x=\ln(e^{x}) \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}$

di conseguenza il limite si esprime nella forma equivalente

$(\bullet)=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-\ln(e^{x})]=$

e applicando una nota proprietà dei logaritmi, otteniamo

$=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}}\right)=$

Dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

$=\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{-1}{e^{x}}\right)=0$

Il limite è 0 perché

$\frac{-1}{e^{x}}\to_{x\to+\infty}0$

In definitiva l'equazione dell'asintoto è

$y=mx+q\iff y=x$

Fatto!

Risposta di Ifrit