Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=\ln(e^{x}-1)

    e calcoliamone il dominio richiedendo che l'argomento della funzione logaritmica sia maggiore di 0. Impostiamo e risolviamo la disequazione esponenziale

    e^{x}-1>0\implies e^{x}>1\implies x>0

    il cui insieme soluzione coincide con il dominio di f(x), pertanto

    Dom(f)=(0,+\infty)

    Per controllare l'esistenza dell'asintoto obliquo, prendiamo in esame il limite

    \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\ln(e^{x}-1)=+\infty

    Poiché il risultato è +\infty vi è la possibilità che la funzione ammetta un asintoto obliquo di equazione

    y=mx+q

    dove m \ \mbox{e} \ q rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine dell'asintoto, definiti mediante i due limiti

    m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} \ \ \ \mbox{e}\ \ \ q=\lim_{x\to+\infty}[f(x)-mx]

    Sottolineiamo che affinché si presenti un asintoto obliquo, m deve essere finito e non nullo, mentre q può assumere qualsiasi valore finito.

    Impostiamo il limite che definisce m

    m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^{x}-1)}{x}=

    Esso si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere trascurando la costante additiva all'interno dell'argomento del logaritmo

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^{x})}{x}=

    e utilizzando la definizione di logaritmo, la quale ci permette di esprimere il limite nella forma

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}=1

    In definitiva m=1. Siamo autorizzati a costruire e calcolare il limite che definisce q

    q=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-x]=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-x]=(\bullet)

    In accordo con la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica, sussiste l'identità

    x=\ln(e^{x}) \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

    di conseguenza il limite si esprime nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{x}-1)-\ln(e^{x})]=

    e applicando una nota proprietà dei logaritmi, otteniamo

    =\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}}\right)=

    Dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

    =\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{-1}{e^{x}}\right)=0

    Il limite è 0 perché

    \frac{-1}{e^{x}}\to_{x\to+\infty}0

    In definitiva l'equazione dell'asintoto è

    y=mx+q\iff y=x

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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