Esercizio sugli asintoti obliqui

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Ho difficoltà con un esercizio in cui devo determinare gli asintoti obliqui di una funzione logaritmica che ha per argomento una funzione esponenziale.

 

f(x) = ln(e^(x)-1)

 

Come procedo? Grazie.

Domanda di Fefi

 
Soluzioni

  • Consideriamo la funzione

    f(x) = ln(e^(x)-1)

    e calcoliamone il dominio richiedendo che l'argomento della funzione logaritmica sia maggiore di 0. Impostiamo e risolviamo la disequazione esponenziale

    e^(x)-1 > 0 ⇒ e^(x) > 1 ⇒ x > 0

    il cui insieme soluzione coincide con il dominio di f(x), pertanto

    Dom(f) = (0,+∞)

    Per controllare l'esistenza dell'asintoto obliquo, prendiamo in esame il limite

    lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)ln(e^(x)-1) = +∞

    Poiché il risultato è +∞ vi è la possibilità che la funzione ammetta un asintoto obliquo di equazione

    y = mx+q

    dove m e q rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine dell'asintoto, definiti mediante i due limiti

    m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x) e q = lim_(x → +∞)[f(x)-mx]

    Sottolineiamo che affinché si presenti un asintoto obliquo, m deve essere finito e non nullo, mentre q può assumere qualsiasi valore finito.

    Impostiamo il limite che definisce m

    m = lim_(x → +∞)(f(x))/(x) = lim_(x → +∞)(ln(e^(x)-1))/(x) =

    Esso si presenta nella forma indeterminata [(∞)/(∞)] che possiamo sciogliere trascurando la costante additiva all'interno dell'argomento del logaritmo

    = lim_(x → +∞)(ln(e^(x)))/(x) =

    e utilizzando la definizione di logaritmo, la quale ci permette di esprimere il limite nella forma

    = lim_(x → +∞)(x)/(x) = 1

    In definitiva m = 1. Siamo autorizzati a costruire e calcolare il limite che definisce q

    q = lim_(x → +∞)[ln(e^(x)-1)-x] = lim_(x → +∞)[ln(e^(x)-1)-x] = (•)

    In accordo con la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica, sussiste l'identità

    x = ln(e^(x)) ∀ x∈R

    di conseguenza il limite si esprime nella forma equivalente

    (•) = lim_(x → +∞)[ln(e^(x)-1)-ln(e^(x))] =

    e applicando una nota proprietà dei logaritmi, otteniamo

    = lim_(x → +∞)ln((e^(x)-1)/(e^(x))) =

    Dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

    = lim_(x → +∞)ln(1+(-1)/(e^(x))) = 0

    Il limite è 0 perché

    (-1)/(e^(x)) → _(x → +∞)0

    In definitiva l'equazione dell'asintoto è

    y = mx+q ⇔ y = x

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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