Equazioni esponenziali con base minore di 1

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Vorrei capire come risolvere un'equazione esponenziale con basi minori di 1 e fratta. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, però non ho capito quale.

 

Calcolare le soluzioni dell'equazione esponenziale fratta

 

(1)/(((1)/(3))^(2x)+((1)/(3))^x+1) = 2·(((1)/(3))^(x)-1)/(((1)/(3))^(3x)-1)+(4)/(((1)/(3))^(x)-1)

 

Grazie.

Domanda di first100

 
Soluzioni

  • La risoluzione dell'equazione esponenziale

    (1)/(((1)/(3))^(2x)+((1)/(3))^x+1) = 2·(((1)/(3))^(x)-1)/(((1)/(3))^(3x)-1)+(4)/(((1)/(3))^(x)-1)

    richiede l'uso della seguente sostituzione

    z = ((1)/(3))^x

    In virtù della proprietà sulla potenza di una potenza, dalla sostituzione ricaviamo le seguenti uguaglianze

    z^2 = [((1)/(3))^(x)]^2 = ((1)/(3))^(2x) ; z^3 = [((1)/(3))^(x)]^3 = ((1)/(3))^(3x)

    le quali consentono di ricondurci a una semplice equazione fratta

    (1)/(z^2+z+1) = 2·(z-1)/(z^3-1)+(4)/(z-1)

    Imponiamo le condizioni di esistenza, imponendo che tutti i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero

    z^2+z+1 ne 0 ∧ z^3-1 ne 0 ∧ z-1 ne0

    dove il simbolo ∧ è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

    Analizziamo singolarmente le tre disuguaglianze partendo dalla prima

    z^2+z+1 ne 0

    Essa equivale a escludere i valori di z che annullano l'equazione di secondo grado

    z^2+z+1 = 0

    Indichiamo con a, b, c i coefficienti dell'equazione

    a = 1 , b = 1 , c = 1

    e calcoliamone il discriminante

    Δ = b^2-4ac = 1-4·1·1 = -3

    Poiché il delta è negativo, l'equazione

    z^2+z+1 = 0

    non ammette soluzioni, cioè: "non esiste alcun valore di z che annulla il polinomio z^2+z+1", pertanto

    z^2+z+1 ne 0

    è sempre vera, qualunque sia il valore assunto da z.

    Occupiamoci della seconda disuguaglianza da cui si ricava quanto segue:

    z^3-1 ne 0 → z^3 ne 1 → z ne 1

    Analizzando infine l'ultima disuguaglianza

    z-1 ne0 → z ne 1

    ricaviamo che l'equazione in z è ben posta a patto che z sia diverso da 1:

    C.E.: z ne 1

    Ritorniamo all'equazione

    (1)/(z^2+z+1) = 2·(z-1)/(z^3-1)+(4)/(z-1)

    Scomponiamo il binomio z^3-1 secondo le regole dei prodotti notevoli, e in particolare la regola relativa alla differenza di cubi

    z^3-1 = (z-1)(z^2+z+1)

    rimpiazziamo la scomposizione nell'equazione

    (1)/(z^2+z+1) = 2·(z-1)/((z-1)(z^2+z+1))+(4)/(z-1)

    e semplifichiamo z-1

    (1)/(z^2+z+1) = (2)/(z^2+z+1)+(4)/(z-1)

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro

    (1)/(z^2+z+1)-(2)/(z^2+z+1)-(4)/(z-1) = 0

    calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    (z-1-2(z-1)-4(z^2+z+1))/((z-1)(z^2+z+1)) = 0

    e infine cancelliamo il denominatore

    z-1-2(z-1)-4(z^2+z+1) = 0

    Svolgiamo le operazioni

    z-1-2z+2-4z^2-4z-4 = 0 ;-4z^2-5z-3 = 0 → 4z^2+5z+3 = 0

    L'equazione di secondo grado in z non ammette soluzioni reali, infatti il discriminante associato è negativo, pertanto possiamo concludere immediatamente che

    (1)/(((1)/(3))^(2x)+((1)/(3))^x+1) = 2·(((1)/(3))^(x)-1)/(((1)/(3))^(3x)-1)+(4)/(((1)/(3))^(x)-1)

    è un'equazione impossibile e in quanto tale il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: S = Ø.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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