Soluzioni
  • La risoluzione dell'equazione esponenziale

    \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{3}\right)^x+1}=2\cdot\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{3x}-1}+\frac{4}{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-1}

    richiede l'uso della seguente sostituzione

    z=\left(\frac{1}{3}\right)^x

    In virtù della proprietà sulla potenza di una potenza, dalla sostituzione ricaviamo le seguenti uguaglianze

    \\ z^2=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]^2=\left(\frac{1}{3}\right)^{2x} \\ \\ \\ z^3=\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\right]^3=\left(\frac{1}{3}\right)^{3x}

    le quali consentono di ricondurci a una semplice equazione fratta

    \frac{1}{z^2+z+1}=2\cdot\frac{z-1}{z^3-1}+\frac{4}{z-1}

    Imponiamo le condizioni di esistenza, imponendo che tutti i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero

    z^2+z+1\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ z^3-1\ne 0  \ \ \ \wedge \ \ \ z-1\ne0

    dove il simbolo \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e".

    Analizziamo singolarmente le tre disuguaglianze partendo dalla prima

    z^2+z+1\ne 0

    Essa equivale a escludere i valori di z che annullano l'equazione di secondo grado

    z^2+z+1=0

    Indichiamo con a, \ b, \ c i coefficienti dell'equazione

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1 \ \ \  ,  \ \ \ c=1

    e calcoliamone il discriminante

    \Delta=b^2-4ac= 1-4\cdot 1 \cdot 1=-3

    Poiché il delta è negativo, l'equazione

    z^2+z+1=0

    non ammette soluzioni, cioè: "non esiste alcun valore di z che annulla il polinomio z^2+z+1", pertanto

    z^2+z+1\ne 0

    è sempre vera, qualunque sia il valore assunto da z.

    Occupiamoci della seconda disuguaglianza da cui si ricava quanto segue:

    z^3-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ z^3\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ z\ne 1

    Analizzando infine l'ultima disuguaglianza

    z-1\ne0\ \ \ \to \ \ \ z\ne 1

    ricaviamo che l'equazione in z è ben posta a patto che z sia diverso da 1:

    C.E.:\ z\ne 1

    Ritorniamo all'equazione

    \frac{1}{z^2+z+1}=2\cdot\frac{z-1}{z^3-1}+\frac{4}{z-1}

    Scomponiamo il binomio z^3-1 secondo le regole dei prodotti notevoli, e in particolare la regola relativa alla differenza di cubi

    z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

    rimpiazziamo la scomposizione nell'equazione

    \frac{1}{z^2+z+1}=2\cdot\frac{z-1}{(z-1)(z^2+z+1)}+\frac{4}{z-1}

    e semplifichiamo z-1

    \frac{1}{z^2+z+1}=\frac{2}{z^2+z+1}+\frac{4}{z-1}

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro

    \frac{1}{z^2+z+1}-\frac{2}{z^2+z+1}-\frac{4}{z-1}=0

    calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

    \frac{z-1-2(z-1)-4(z^2+z+1)}{(z-1)(z^2+z+1)}=0

    e infine cancelliamo il denominatore

    z-1-2(z-1)-4(z^2+z+1)=0

    Svolgiamo le operazioni

    \\ z-1-2z+2-4z^2-4z-4=0\\ \\ -4z^2-5z-3=0 \ \ \ \to \ \ \ 4z^2+5z+3=0

    L'equazione di secondo grado in z non ammette soluzioni reali, infatti il discriminante associato è negativo, pertanto possiamo concludere immediatamente che

    \frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{3}\right)^x+1}=2\cdot\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{3x}-1}+\frac{4}{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-1}

    è un'equazione impossibile e in quanto tale il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: S=\emptyset.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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