Limite di convergenza puntuale successione di funzioni

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Ciao mi spiegate perchè la funzione limite di convergenza puntuale della seguente successione di funzioni:


f_n(x) = nlog(n+sin(x))-nlog(n)


è f(x) = sin(x)? Grazie mille...

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Se consideriamo la successione di funzioni

    f_(n)(n) = nlog((n+sin(x)))-nlog(n)

    e ne calcoliamo il limite per n → +∞, avendo previamente fissato x

    lim_(n → +∞)nlog((n+sin(x)))-nlog(n) =

    raccogliamo n e applichiamo una nota proprietà dei logaritmi (il logaritmo di un rapporto è la differenza dei logaritmi, e viceversa)

    = lim_(n → +∞)n[log((n+sin(x)))-log(n)] =

    = lim_(n → +∞)n[log(((n+sin(x))/(n)))] =

    dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

    = lim_(n → +∞)n[log((1+(sin(x))/(n)))] =

    e applichiamo il troppo noto limite notevole del logaritmo, che ci consente di sostituire per equivalenza asintotica

    = lim_(n → +∞)n(sin(x))/(n) = sin(x)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ma quindi converge anche uniformemente ?

    Risposta di 904

  • Lo studio della convergenza uniforme va fatto: la convergenza puntuale non implica in generale la convergenza uniforme, mentre è vero il viceversa.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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