Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Se consideriamo la successione di funzioni

    f_{n}(n)=n\log{(n+\sin{(x)})}-n\log{(n)}

    e ne calcoliamo il limite per n\to +\infty, avendo previamente fissato x

    \lim_{n\to +\infty}{n\log{(n+\sin{(x)})}-n\log{(n)}}=

    raccogliamo n e applichiamo una nota proprietà dei logaritmi (il logaritmo di un rapporto è la differenza dei logaritmi, e viceversa)

    =\lim_{n\to +\infty}{n\left[\log{(n+\sin{(x)})}-\log{(n)}\right]}=

    =\lim_{n\to +\infty}{n\left[\log{\left(\frac{n+\sin{(x)}}{n}\right)}\right]}=

    dividiamo termine a termine nell'argomento del logaritmo

    =\lim_{n\to +\infty}{n\left[\log{\left(1+\frac{\sin{(x)}}{n}\right)}\right]}=

    e applichiamo il troppo noto limite notevole del logaritmo, che ci consente di sostituire per equivalenza asintotica

    =\lim_{n\to +\infty}{n\frac{\sin{(x)}}{n}}=\sin{(x)}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ma quindi converge anche uniformemente ?

    Risposta di 904
  • Lo studio della convergenza uniforme va fatto: la convergenza puntuale non implica in generale la convergenza uniforme, mentre è vero il viceversa.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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