Soluzioni
  • Ciao Martididdle, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Procediamo per passi:

    f(x,y)=x^3-y^3+xy

    Calcoliamo le derivate parziali e poniamole uguali a zero, in questo modo determiniamo i punti stazionari della funzione f(x,y), cioè risolviamo il sistema

    \nabla f(x,y)=0

    dove \nabla f(x,y) è il gradiente, cioè il vettore delle derivate parziali

    \nabla f(x,y)=[f_x(x,y),f_y(x,y)]

    Abbiamo

    f_x(x,y)=3x^2+y

    f_y(x,y)=-3y^2+x

    Dunque dobbiamo risolvere il sistema

    3x^2+y=0

    -3y^2+x=0

    Riscriviamo la seconda nella forma

    x=3y^2

    e sostituiamola nella prima

    3(3y^2)^2+y=0

    27y^4+y=0

    y(27y^3+1)=0

    Abbiamo tre soluzioni: y=0\mbox{; }y=-1/3. Sostituendo tali valori nell'altra equazione otteniamo due punti stazionari:

    (0,0),\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)

    Fin qui ti tornano i calcoli?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Benissimo
    Risposta di Martididdle
  • Ok: ora calcoliamo la matrice Hessiana H f(x,y), ovvero la matrice delle derivate seconde

    f_{xx}(x,y)=6x

    f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=1

    f_{yy}(x,y)=-6y

    Abbiamo così

    H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}6x&1\\ 1& -6y\end{matrix}\right]

    Valutiamo la matrice Hessiana in corrispondenza dei punti critici, calcoliamo i determinanti e in ciascun caso consideriamo il segno dell'elemento di posto (1,1)

    H_f(0,0)=\left[\begin{matrix}0&1\\ 1& 0\end{matrix}\right]

    H_f(1/3,-1/3)=\left[\begin{matrix}2&1\\ 1& 2\end{matrix}\right]

    Essendo det(H_f(0,0))=-1 risulta che (0,0) è un punto di sella.

    Essendo det(H_f(1/3,-1/3))=3 ed essendo il primo elemento della matrice positivo, risulta che (1/3,-1/3) è un punto di minimo (locale).

    Tutto chiaro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Chiarissimo
    Risposta di Martididdle
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