Parabola dipendente da un parametro e direttrice

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Carissimo Staff, non ho idea di come affrontare questo esercizio su una parabola con un parametro, e chiedo il vostro aiuto...

 

Determinare il valore del parametro a in modo che la parabola di equazione 2(a-1)y+x^2=0 abbia per direttrice la retta di equazione y=-1/2.

Vi ringrazio!

Domanda di Mindy

 
Soluzioni

  • Ciao Mindy arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo l'equazione:

    2(a-1)y+x^2 = 0

    Portiamo al secondo membro x^2 cambiandolo di segno:

    2(a-1)y = -x^2

    Per

    a ne 1 

    il termine 

    2(a-1) ne 0

    quindi possiamo dividere membro a membro per quest'ultimo:

    y = -(1)/(2(a-1))x^2

    Ora l'equazione della retta direttrice della parabola è:

    y = -(1+Δ)/(4a')

    Ora nel nostro caso:

    Δ = b^2-4a'c = 0^2-4·0·(-(1)/(2(a-1))) = 0

    mentre 

    4a'= -4(1)/(2(a-1)) = -(2)/(a-1)

     

    L'equazione della retta direttrice è:

    [editato]

    y = -(1)/(-(2)/(a-1)) = (a-1)/(2)

     

    A questo punto sappiamo che:

    y = -(1)/(2)

     

    quindi dobbiamo imporre che:

    (a-1)/(2) = -(1)/(2)

    moltiplichiamo per due membro a membro:

    a-1 = -1

    da cui

    a = 0

    Sostituendo nella equazione iniziale:

    y = -(1)/(2(a-1))x^2

    diventa:

    y = -(1)/(2(0-1))x^2

    y = -(1)/(-2)x^2

     Quindi

    y = (1)/(2)x^2

    Se hai domande sono qui :D

    [Editato]

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille! ma non ho capito da dove è uscita questa:

    4a'= -4(1)/(2(a-1)) = -(2)/(a-1)

    e perché

    a ne 1

    Risposta di Mindy

  • Se a fosse uguale a 1 allora non potremmo dividere per il termine 2(a-1) perché sarebbe zero, e in matematica non è ammissibile dividere per zero ;)

    Mi sono dimenticato di dirti inoltre che se l'equazione si presenta nella forma:

    y = a'x^2+b x+c

    allora l'equazione della retta direttrice è:

    y = -(1+Δ)/(4a')

     

    Nel nostro caso:

    y = -(1)/(2(a-1))x^2

    questo vuol dire che:

    a'= -(1)/(2(a-1))

    b = 0

    c = 0

    Dalla prima uguaglianza abbiamo che:

    4a'= 4·(-(1)/(2(a-1))) = -(2)/(a-1)

    Risposta di Ifrit

  • grazie a te! :D

    Risposta di Mindy
 
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