Scomporre una frazione algebrica

Il nostro obiettivo consiste nel semplificare la frazione algebrica

Per poterlo raggiungere bisogna:

- scomporre il polinomio a numeratore e quello a denominatore avvalendosi delle opportune tecniche di fattorizzazione, quali: il metodo del raccoglimento totale, quello del raccoglimento parziale, la fattorizzazione mediante prodotti notevoli o ancora la regola di Ruffini.

- Imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che ciascun fattore della scomposizione a denominatore sia diverso da zero;

- dividere per i fattori comuni il numeratore e il denominatore, usando le sempreverdi proprietà delle potenze se la situazione lo richiede.

Scomponiamo in fattori irriducibili il numeratore raccogliendo a fattore comune 6

dopodiché raccogliamo totalmente il binomio

Osserviamo che i termini tra parentesi quadre hanno 2 come fattore comune e mettendolo in evidenza, l'espressione diventa:

Scomposto il numeratore, occupiamoci del polinomio a denominatore

che in realtà è già fattorizzato a dovere.

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore sia diverso da zero:

Poiché una potenza è nulla se e solo se lo è la sua base, la precedente relazione si traduce come:

Deduciamo pertanto che la frazione algebrica è ben posta se e solo se :

Noto l'insieme su cui è ben definita la frazione, portiamo a termine l'esercizio rimpiazzando i polinomi con le rispettive scomposizioni

successivamente semplifichiamo e

Abbiamo finito!