Scomporre una frazione algebrica
Ho bisogno di una mano per semplificare una frazione algebrica. Il mio problema risiede essenzialmente nel capire quali tecniche di scomposizione usare per fattorizzare i polinomi che la compongono.
Dopo aver scomposto i polinomi che la compongono, semplificare la seguente frazione algebrica
Grazie.
Il nostro obiettivo consiste nel semplificare la frazione algebrica
Per poterlo raggiungere bisogna:
- scomporre il polinomio a numeratore e quello a denominatore avvalendosi delle opportune tecniche di fattorizzazione, quali: il metodo del raccoglimento totale, quello del raccoglimento parziale, la fattorizzazione mediante prodotti notevoli o ancora la regola di Ruffini.
- Imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che ciascun fattore della scomposizione a denominatore sia diverso da zero;
- dividere per i fattori comuni il numeratore e il denominatore, usando le sempreverdi proprietà delle potenze se la situazione lo richiede.
Scomponiamo in fattori irriducibili il numeratore raccogliendo a fattore comune 6
dopodiché raccogliamo totalmente il binomio
Osserviamo che i termini tra parentesi quadre hanno 2 come fattore comune e mettendolo in evidenza, l'espressione diventa:
Scomposto il numeratore, occupiamoci del polinomio a denominatore
che in realtà è già fattorizzato a dovere.
Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore sia diverso da zero:
Poiché una potenza è nulla se e solo se lo è la sua base, la precedente relazione si traduce come:
Deduciamo pertanto che la frazione algebrica è ben posta se e solo se :
Noto l'insieme su cui è ben definita la frazione, portiamo a termine l'esercizio rimpiazzando i polinomi con le rispettive scomposizioni
successivamente semplifichiamo e
Abbiamo finito!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
Ultima modifica: