Scomporre una frazione algebrica

Ho bisogno di una mano per semplificare una frazione algebrica. Il mio problema risiede essenzialmente nel capire quali tecniche di scomposizione usare per fattorizzare i polinomi che la compongono.

Dopo aver scomposto i polinomi che la compongono, semplificare la seguente frazione algebrica

(6a+6b+4(a+b)^2)/(4(a+b)^2)

Grazie.

Domanda di Nello
Soluzione

Il nostro obiettivo consiste nel semplificare la frazione algebrica

(6a+6b+4(a+b)^2)/(4(a+b)^2)

Per poterlo raggiungere bisogna:

- scomporre il polinomio a numeratore e quello a denominatore avvalendosi delle opportune tecniche di fattorizzazione, quali: il metodo del raccoglimento totale, quello del raccoglimento parziale, la fattorizzazione mediante prodotti notevoli o ancora la regola di Ruffini.

- Imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che ciascun fattore della scomposizione a denominatore sia diverso da zero;

- dividere per i fattori comuni il numeratore e il denominatore, usando le sempreverdi proprietà delle potenze se la situazione lo richiede.

Scomponiamo in fattori irriducibili il numeratore raccogliendo a fattore comune 6

6a+6b+4(a+b)^2 = 6(a+b)+4(a+b)^2 =

dopodiché raccogliamo totalmente il binomio (a+b)

= (a+b)[6+4(a+b)] = (a+b)[4a+4b+6] =

Osserviamo che i termini tra parentesi quadre hanno 2 come fattore comune e mettendolo in evidenza, l'espressione diventa:

= 2(a+b)[2a+2b+3]

Scomposto il numeratore, occupiamoci del polinomio a denominatore

4(a+b)^2

che in realtà è già fattorizzato a dovere.

Imponiamo le condizioni di esistenza richiedendo che il denominatore sia diverso da zero:

C.E. : 4(a+b)^2 ne 0 → (a+b)^2 ne 0

Poiché una potenza è nulla se e solo se lo è la sua base, la precedente relazione si traduce come:

a+b ne 0 → a ne-b

Deduciamo pertanto che la frazione algebrica è ben posta se e solo se a ne-b:

C.E.: a ne-b

Noto l'insieme su cui è ben definita la frazione, portiamo a termine l'esercizio rimpiazzando i polinomi con le rispettive scomposizioni

(6a+6b+4(a+b)^2)/(4(a+b)^2) = (2(a+b)[2a+2b+3])/(4(a+b)^2) =

successivamente semplifichiamo 2 con 4 e (a+b) con (a+b)^2

= (2a+2b+3)/(2(a+b)) con a ne-b

Abbiamo finito!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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