Ciao xavier310,
data la serie
la successione delle somme parziali è deifinita come
Quindi capisci che la somma della serie è data da
Per quanto riguarda la tua prima domanda la risposta in questo caso è si, infatti la serie è convergente, dimostriamolo
![Σ_(k = 0)^(∞)[((2)/(3))^k+((1)/(5))^k]](/images/joomlatex/9/e/9eee1a45545ae8a4dcc891a09d3bb625.gif)
si può scrivere come somma di due serie geometriche:
queste due serie sono convergenti, infatti sono serie geometriche di ragione positiva e più piccola di 1, quindi sono convergenti.
In questo caso inoltre, è possibile calcolare esplicitamente la somma sfruttando il fatto che una serie geometrica se convergente ha limite
dove x è la ragione della serie. Quindi in questo caso si ha
![Σ_(k = 0)^(∞)[((2)/(3))^k+((1)/(5))^k] = (17)/(4)](/images/joomlatex/2/a/2a5793a6f6438ae6795dbe7ad5eb41cf.gif)
Alpha.
In questo caso quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore? Come determinarli?
Ciao xiaver310,
l'estremo superiore è la somma della serie e l'abbiamo calcolata esplicitamente (17/4).
Essendo la successione delle somme parziali crescente si ha che l'estremo inferiore, in questo caso il minimo, coincide con la serie valutata al primo indice, cioè per k=0. Quindi il minimo è 2.
La morale è questa: se la serie è convergente il sup è proprio il limite, se è crescente il minimo è proprio la valutazione sul primo indice; il punto è che non c'è un metodo applicabile in ogni caso per capire chi siano inf e sup di una serie, bisogna ragionarci e sfruttare le sue proprietà
Alpha.
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