Soluzioni
  • Ciao xavier310,

     

    data la serie

     

    \sum_{k=0}^{\infty}a_n

     

    la successione delle somme parziali è deifinita come

     

    s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k

     

    Quindi capisci che la somma della serie è data da

     

    \lim_{n\to\infty}s_n

     

    Per quanto riguarda la tua prima domanda la risposta in questo caso è si, infatti la serie è convergente, dimostriamolo

     

    \sum_{k=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{3}\right)^k+\left(\frac{1}{5}\right)^k\right]

     

    si può scrivere come somma di due serie geometriche:

     

    \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k+\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k

     

    queste due serie sono convergenti, infatti sono serie geometriche di ragione positiva e più piccola di 1, quindi sono convergenti.

     

    In questo caso inoltre, è possibile calcolare esplicitamente la somma sfruttando il fatto che una serie geometrica se convergente ha limite

    \frac{1}{1-x}

     

    dove x è la ragione della serie. Quindi in questo caso si ha

     

    \sum_{k=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{3}\right)^k+\left(\frac{1}{5}\right)^k\right]=\frac{17}{4}

     

    Alpha.

     

     

     

    Risposta di Alpha
  • In questo caso quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore? Come determinarli?

    Risposta di xavier310
  • Ciao xiaver310,

     

    l'estremo superiore è la somma della serie e l'abbiamo calcolata esplicitamente (17/4).

    Essendo la successione delle somme parziali crescente si ha che l'estremo inferiore, in questo caso il minimo, coincide con la serie valutata al primo indice, cioè per k=0. Quindi il minimo è 2.

     

    La morale è questa: se la serie è convergente il sup è proprio il limite, se è crescente il minimo è proprio la valutazione sul primo indice; il punto è che non c'è un metodo applicabile in ogni caso per capire chi siano inf e sup di una serie, bisogna ragionarci e sfruttare le sue proprietà

     

    Alpha.

     

    Risposta di Alpha
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